Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Hoạt động khởi động: Làm thế nào để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho các góc từ 0° đến 180°?

Trả lời:

Để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho góc từ 0° đến 180° ta thực hiện như sau:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}=\alpha$. Gọi (x0; y0) là tọa độ của điểm M, ta có:

+ sin của góc α là tung độ y0  của điểm M, được kí hiệu là sinα;

+ côsin của góc α là hoành độ x0  của điểm M, được kí hiệu là cosα;

+ tang của α là tỉ số  $\frac{y_0}{x_0}$ (x0 ≠ 0), được kí hiệu là tanα = $\frac{y_0}{x_0}$;

+ côtang của α là tỉ số $\frac{x_0}{y_0}$ (y0 ≠ 0), được kí hiệu là cotα = $\frac{x_0}{y_0}$ .

1. Giá trị lượng giác

Hoạt động khám phá 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn α, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}=\alpha$. Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Áp dụng cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

sinα = y0; cosα = x0 ; tanα =  $\frac{y_0}{x_0}$; cotα = $\frac{x_0}{y_0}$

Trả lời:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$ = 135∘. Ta có: $\widehat{MOy}$ = 135^o - 90^o = 45^o

Lại có: sin45∘ = 2√2; cos45∘ = 2√2 

⇒ Tọa độ điểm M là (−2√2;2√2).

Vậy theo định nghĩa ta có: 

• sin135∘ = 2√2; cos135∘ = - 2√2
• tan135∘ = -1; cot135∘ = -1

Thực hành 1: Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

Trả lời:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}={135}^o$. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}={135}^o$ nên ${\mathrm{M0N^\backslash widehat\{M0N\}M0N}}^{}={45}^o$, ${\mathrm{MOP^\backslash widehat\{MOP\}MOP}}^{}={45}^o$ .

Tam giác MOP là tam giác vuông cân với cạnh huyền OM = 1.

cos${\mathrm{MOP^\backslash widehat\{MOP\}MOP}}^{}$ = cos45° = $\frac{OP}{OM}=\frac{OP}{1}=OP$

Mà cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Do đó: OP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Tam giác MON vuông tại N có góc ${\mathrm{M0N^\backslash widehat\{M0N\}M0N}}^{}={45}^o$ và cạnh huyền OM = 1

cos${\mathrm{M0N^\backslash widehat\{M0N\}M0N}}^{}$ = cos 45° = $\frac{ON}{OM}=\frac{ON}{1}=ON$

Mà cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Do đó: ON = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Vậy theo định nghĩa ta có:

sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

tan135° =  – 1;

cot135° =  – 1.

2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Hoạt động khám phá 2: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc  ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}$ và $\widehat{xON}$

Trả lời:

Thực hành 2: Tính các giá trị lượng giác: sin120°; cos150°; cot135°.

Trả lời:

Vận dụng 1: Cho biết sinα = $\frac{1}{2}$, tìm góc α (0° ≤ α  ≤ 180°) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

Trả lời:

Trên trục Oy của nửa đường tròn đơn vị lấy điểm $H\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

Từ điểm H kẻ đường thẳng song song với trục Ox, cắt nửa đường tròn tại hai điểm M và M’.

Ta có góc α cần tìm là : ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}$  và ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}\text{'}}^{}$ .

Với α =  ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}}^{}$ và sinα = $\frac{1}{2}$ ⇒ α $\frac{1}{2}$ = 30°.

Mặt khác sin30° = sin(180° – 30°), tức là sin30° = sin150°.

Suy ra  ${\mathrm{xOM^\backslash widehat\{xOM\}xOM}\text{'}}^{}={150}^o$.

Vậy α  = 30° hoặc α  = 150°.

3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Thực hành 3: Tính

A = sin150° + tan135°  + cot45°;

B = 2cos30° – 3tan150° + cot135°.

Trả lời:

Ta có A = sin150° + tan135° + cot45° = $\frac{1}{2}+(-1)+1$ = $\frac{1}{2}$

B = 2cos30° – 3tan150° + cot135° = $2.\frac{\sqrt{3}}{2}-3.\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+(-1)=2\sqrt{3}-1$ 

Vậy A = $\frac{1}{2}$  ; B = $2\sqrt{3}-1$

Vận dụng 2: Tìm góc α  (0° ≤ α  ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) sinα  = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) cosα = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ ;

c) tanα  =  – 1;

d) cotα  =  $-\sqrt{3}$.

Trả lời:

a. α =  60∘ hoặc α =  120∘

b. α =  135∘ 

c. α =  135∘

d. α =  150∘

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc

Thực hành 4:

a) Tính cos80°43'51"; tan147°12'25''; cot99°9'19".

b) Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°), biết cosα  = – 0,723.

Trả lời:

Bài tập

Bài tập 1: Cho biết sin30° = $\frac{1}{2}$; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Trả lời:

Ta có E = 2cos30° + sin150° + tan135°

= 2sin(90° – 30°) + sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°)

= 2sin60° + sin30° – tan 45° = $2.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}-1=\frac{2\sqrt{3}-1}{2}$ 

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a) sin20° = sin160°;

b) cos50° =  – cos130°.

Trả lời:

a. Vì 20∘ + 160∘ = 180∘

nên sin20∘ = sin(180∘ - 160∘) = sin160∘ (đpcm)

b. Vì 50∘ + 130∘ = 180∘ 

nên cos50∘ = cos(180∘ - 130∘) = - cos130∘ (đpcm)

Bài tập 3: Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cosα  = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ ;

b) sinα  = 0;

c) tanα  = 1;

d) cotα  không xác định.

Trả lời:

Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) sinA = sin(B + C);

b) cosA =  – cos(B + C).

Trả lời:

a) Trong tam giác ABC ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^o\Rightarrow \hat{B}+\hat{C}={180}^o-\hat{A}$.

Khi đó sinA = sin(180°  –  A) = sin(B + C).

Vậy sinA = sin(B + C).

b) cosA = – cos(180° – A) = – cos(B + C).

Vậy cosA = – cos(B + C).

Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α  ≤ 180°), ta đều có:

a) cos2α  + sin2α  = 1;

b) tanα  . cotα  = 1 (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°).

c) 1 + tan2α  = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (α  ≠ 90°);

d) 1 + cot2 α  = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (0° < α  < 180°).

Trả lời:

a.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

sinB = ACBC;            cosB = ABBC

cos2B + sin2B = ABBC2 + ACBC2 = AC2+AB2BC2 = BC2BC2 = 1 (theo định lí Pytago: AB2+AC2=BC2)

Vậy cos2α + sin2α = 1

b. Ta có: tanα = sinαcosα; cotα = cosαsinα

⇒ tanα. cotα = sinαcosα. cosαsinα = 1 (đpcm)

c. Ta có: 1 + tan2α = 1 + sin2αcos2α = cos2αcos2α + sin2αcos2α = 1cos2α (vì cos2α + sin2α = 1 chứng minh câu a) 

Vậy 1 + tan2α = 1cos2α

d. Ta có: 1 + cot2α = 1 + cos2αsin2α = sin2αsin2α + cos2αsin2α = 1sin2α (vì cos2α + sin2α = 1 chứng minh câu a)

Vậy 1 + cot2α = 1sin2α

Bài tập 6: Cho góc α với cosα  = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin2α  + 5cos2α .

Trả lời:

Bài tập 7: Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính: sin168°45'33"; cos17°22'35"; tan156°26'39"; cot 56°36'42".

b) Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°) trong các trường hợp sau:

i) sinα  = 0,862;

ii) cosα  =  – 0,567;

iii) tanα  = 0,334.

Trả lời:

a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

sin168°45'33" ≈ 0,1949334051;

cos17°22'35" ≈ 0,9543634797;

tan156°26'39" ≈  – 0,4359715781;

cot 56°36'42" ≈ 0,6590863967.

b)

i) sinα  = 0,862 ⇒ α  ≈ 59°32'31".

ii) cosα  =  – 0,567 ⇒ α  ≈ 124°32'29".

iii) tanα  = 0,334 ⇒ α ≈ 18°28'10".