Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực - Giải SGK Toán 11 - Cánh Diều

Câu hỏi khởi động: Ở các lớp dưới, ta đã làm quen với phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số thực và các tính chất của phép tính lũy thừa đó. Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng như thế nào? Những phép lũy thừa đó có tính chất gì?

Lời giải:

– Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng dựa trên lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là an, là tích của n thừa số a:

an = a.a.a...a (n thừa số a) với n là số nguyên dương.

Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

– Tính chất của lũy thừa mà ta đã học ở các lớp dưới:

⦁ am . an = am+n;

⦁ $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n};$

⦁ ${(a^{m})}^{n} = a^{m . n};$

⦁ (a . b)m = am . bm;

⦁ ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}};$

⦁ Với a > 1 thì am > an ⇔ m > n;

⦁Với 0 < a < 1 thì am > an ⇔ m < n.

I. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỷ

Hoạt động 1:

a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a.

b) Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a.

Lời giải:

Luyện tập 1: Tính giá trị của biểu thức: $M = {(\frac{1}{3})}^{12} \cdot {(\frac{1}{27})}^{- 5} + {(0,4)}^{- 4} \cdot 25^{- 2} \cdot {(\frac{1}{32})}^{- 1} .$

Lời giải:

M=(13)12⋅(127)−5+(0,4)−4.25−2⋅(132)−1

=(13)12⋅275+(52)4⋅1252⋅32

=275312+5424.252⋅32

=315312+5424.54⋅32

=33+3224=29

Hoạt động 2:

a) Với a là số thực không ân, nêu định nghĩa căn bậc hai của a.

b) Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a.

Lời giải:

a) Căn bậc hai của một số thực a không âm, kí hiệu là $\sqrt{a}$ là số x sao cho x2 = a.

b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho x3 = a.

Luyện tập 2: Các số 2 và –2 có phải là căn bậc 6 của 64 hay không?

Lời giải:

Hoạt động 3:

a) Với mỗi số thực a, so sánh: $\sqrt{a^{2}}$ và |a|; $\sqrt[3]{a^{3}}$ và a.

b) Cho a, b là hai số thực dương. So sánh $\sqrt{a \cdot b}$ và $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} .$

Lời giải:

a)a2−−√ = |a| nếu a chẵn

a3−−√3=a nếu a là số lẻ

b) a.b−−−√=a−−√.b√

Luyện tập 3: Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}} . \sqrt[4]{81};$ b) $\frac{\sqrt[5]{98} . \sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}} .$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}} \cdot \sqrt[4]{81} = \sqrt[3]{{(\frac{5}{4})}^{3}} \cdot \sqrt[4]{3^{4}} = \frac{5}{4} \cdot 3 = \frac{15}{4};$

b) $\frac{\sqrt[5]{98} \cdot \sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}} = \sqrt[5]{\frac{98 \cdot 343}{64}} = \sqrt[5]{\frac{2 \cdot 7^{2} \cdot 7^{3}}{2^{6}}} = \sqrt[5]{\frac{7^{5}}{2^{5}}} = \sqrt[5]{{(\frac{7}{2})}^{5}} = \frac{7}{2} .$

Hoạt động 4: Thực hiện các hoạt động sau:

a) So sánh Hoạt động 4 trang 29 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11 và 22; b) So sánh và $\sqrt[3]{2^{6}} .$

Lời giải:

Luyện tập 4: Rút gọn mỗi biểu thức: $N = \frac{x^{\frac{4}{3}} y + x y^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} (x > 0, y > 0) .$

Lời giải:

N=x43y+xy43x√3+y√3

N=x4√3y+xy4√3x√3+y√3

N=x3√3.x√3.y+x.y3√3.y√3x√3+y√3

N=xy(x√3+y√3)x√3+y√3

N=xy

II. Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Hoạt động 5:

Xét số vô tỉ $\sqrt{2} = 1,414213562...$

Xét dãy số hữu tỉ r1 = 1; r2 = 1,4; r3 = 1,41; r4 = 1,414; r5 = 1,4142; r6 = 1,41421; ...và $\lim r_{n} = \sqrt{2} .$ Bằng cách tính tương ứng, ta nhận được Bảng 1 ghi các dãy số (rn) và $(3^{r_{n}})$ với n = 1, 2, ..., 6. Người ta chứng minh được rằng khi n → +∞ thì dãy số $(3^{r_{n}})$ dần đến một giới hạn mà ta gọi là $3^{\sqrt{2}} .$

Nêu dự đoán về giá trị của số $3^{\sqrt{2}}$ (đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Từ Bảng 1 ta thấy:

⦁r1 = 1 thì $3^{r_{1}} = 3;$

⦁r2 = 1,4 thì $3^{r_{2}} = 4,655536722... \approx 4,66;$

...

⦁r6 = 1,41421 thì $3^{r_{6}} = 4,728785881... \approx 4,73;$

…

Dự đoán: $3^{\sqrt{2}} \approx 4,73.$

Luyện tập 5: So sánh $10^{\sqrt{2}}$ và 10.

Lời giải:

Có 102√ > 10

Hoạt động 6: Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương.

Lời giải:

Luyện tập 6:

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số $2^{2 \sqrt{3}}$ và $2^{3 \sqrt{2}} .$

Lời giải:

Ta có: ${(2 \sqrt{3})}^{2} = 12; {(3 \sqrt{2})}^{2} = 18$

Vì 12 < 18, nên $2 \sqrt{3} < 3 \sqrt{2}$

Do cơ số 2 lớn hơn 1 nên $2^{2 \sqrt{3}} < 2^{3 \sqrt{2}} .$

Luyện tập 7: Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) ${(- 2,7)}^{- 4};$ b) ${(\sqrt{3} - 1)}^{\sqrt[3]{4} + 1} .$

Lời giải:

a) (−2,7)−4 xấp xỉ bằng 0,02

b) (3–√−14√3+1) xấp xỉ bằng 0,45

Bài tập

Bài tập 1: Tính:

a) ${(\frac{1}{256})}^{- 0,75} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{4}{3}};$

b) ${(\frac{1}{49})}^{- 1,5} - {(\frac{1}{125})}^{- \frac{2}{3}};$

c) $(4^{3 + \sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}) \cdot 2^{- 2 \sqrt{3}} .$

Lời giải:

Bài tập 2:

Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a};$ b) $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b};$ c) $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a};$ d) $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}} .$

Lời giải:

a) $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{1}{3}} . a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^{5}};$

b) $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = b^{1};$

c) $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a} = a^{\frac{4}{3}} : a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} = a^{1};$

d) $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3}} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{b} .$

Bài tập 3: Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{1}{3}}} (a > 0; a \neq 1);$ b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}} (a > 0, b > 0) .$

Lời giải:

a) a73−a13a43−a13=a13⋅(a2−1)a13⋅(a−1)=a2−1a−1=a+1

b) a12b6−−−−√−−−−−−√3=(a12b6)12−−−−−−−√3=(a12b6)16=a2.b

Bài tập 4: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) $1^{1,5}; 3^{- 1}; {(\frac{1}{2})}^{- 2};$ b) $2022^{0}; {(\frac{4}{5})}^{- 1}; 5^{\frac{1}{2}} .$

Lời giải:

Bài tập 5: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) $6^{\sqrt{3}}$ và 36; b) ${(0,2)}^{\sqrt{3}}$ và ${(0,2)}^{\sqrt{5}} .$

Lời giải:

a) Ta có 3 < 4 nên $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$

Vì cơ số 6 lớn hơn 1 nên $6^{\sqrt{3}}$ do đó $6^{\sqrt{3}} < 36.$

b) Ta có: 3 < 5 nên $\sqrt{3} < \sqrt{5}$

Vì cơ số 0,2 thỏa mãn 0 < 0,2 < 1 nên ${(0,2)}^{\sqrt{3}} > {(0,2)}^{\sqrt{5}} .$

Bài tập 6: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số

$P = d^{\frac{3}{2}},$ trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU.

Lời giải:

- Có P=d32=1.5232≈1,87 (năm)