Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

I. Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

Hoạt động 1:

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x2 tại điểm x0 bất kì bằng định nghĩa.

b) Dự đoán đạo hàm của hàm số y = xn tại điểm x bất kì

Lời giải:

a) y′(x0)=limx→x0x2−x20x−x0=limx→x0(x−x0)(x+x0)x−x0

=limx→x0(x+x0)=2x0

b) y=xn

=> y′=n.xn−1

Luyện tập 1: Cho hàm số y = x22

a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì.

b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0 =1

Lời giải:

a) Ta có: y' = (x22)' = 22x21

b) Đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = –1 là y'(–1) = 22 . (–1)21 = 22 . (–1) = –22

Hoạt động 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm x0 = 1 bằng định nghĩa

Lời giải:

Luyện tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ tại điểm x0 = 9

Lời giải:

Ta có :$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$với x > 0.

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0 = 9 là $f^{\prime }\left(9\right)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}.$

Hoạt động 3: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Luyện tập 3: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm $x_0=\frac{\pi }{2}$

Lời giải:

Ta có f’(x) = cosx.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=\frac{\pi }{2}$là: $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}=0$

Hoạt động 4: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì

Lời giải:

f′(x0)=limx→x0cosx−cosx0x−x0

=limx→x0−2.sinx+x02.sinx−x02x−x0

=limx→x0−2.x+x02.sinx−x02x−x0

=limx→x0−sinx+x02=−sin2x02=−sinx0

=>f′(x)=(cosx)′=−sinx

Luyện tập 4: Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x0 = 2

Lời giải:

Ta có:f’(x)= –sinx

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x0 = 2 là: f’(2) = –sin2

Hoạt động 5: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ)

Lời giải:

Luyện tập 5: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$

Lời giải:

Có f′(x)=1cos2x=1cos2−π6=43

Hoạt động 6: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = cot(x + ∆x) – cotx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{cot\left(x+\Delta x\right)–cotx}{\Delta x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\cos \left(x+\Delta x\right)}{\sin \left(x+\Delta x\right)}-\frac{\cos x}{\sin x}}{\Delta x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(x+\Delta x\right)\sin x-\sin \left(x+\Delta x\right)\cos x}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x-x-\Delta x\right)}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(-\Delta x\right)}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\left(-1\right)\cdot \frac{1}{\sin \left(x+0\right)\sin x}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ) là $y\text{'}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

Luyện tập 6: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cotx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}$

Lời giải:

Hoạt động 7: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ tính đạo hàm của hàm số y = ex tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

f′(x0)=limx→x0ex+x0−exx−x0

=limx→x0ex(ex0−1)x

=ex.limx→x0ex0−1x=ex

=>f′(x)=ex

Luyện tập 7: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 10x tại điểm x0 = –1

Lời giải:

Ta có f’(x) = 10xln10

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0 =–1 là $f’\left(–1\right)={10}^{-1}\ln 10=\frac{\ln 10}{10}$

Hoạt động 8: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$ tính đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Luyện tập 8: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = logx tại điểm $x_0=\frac{1}{2}.$

Lời giải:

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x\ln 10}$(x > 0).

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=\frac{1}{2}$là $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot \ln 10}=\frac{2}{\ln 10}.$

$II.\; Đạo\; hàm\; của\; tổng,hiệu,tích,thương\; và\; đạo\; hàm\; của\; hàm\; hợp$

Hoạt động 9: Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên khoảng (a; b) cùng có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a; b).

a) Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x), x ∈ (a; b). So sánh:

 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{h\left(x_0+\Delta x\right)-h\left(x_0\right)}{\Delta x}$ và $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x_0+\Delta x\right)-g\left(x_0\right)}{\Delta x}.$

b) Nêu nhận xét về h'(x0) và f'(x0) + g’(x0

Lời giải:

a) Có Δx=x−x0,Δy=f(x0+Δx)−f(x0)limx→0h(x0+Δx)−h(x0)Δx

=limx→0h(x)−h(x0x−x0

=limx→0f(x)+g(x)−f(x0)−g(x0)x−x0

=limx→0g(x0+Δx)−f(x0)Δx+limx→0f(x0+Δx)−g(x0)Δx

b) h′(x0)=f′(x0)+g′(x0)

Luyện tập 9: Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì

Lời giải:

Luyện tập 10: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx + cotx tại điểm $x_0=\frac{\pi }{3}$

Lời giải:

Xét f(x) = tanx + cotx, ta có:$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ với $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ và x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Vậy đạo hàm của hàm số trên là 

$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\frac{\pi }{3}}-\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}-\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.$

Hoạt động 10: Cho hàm số y = f(u) = sinu; u = g(x) = x2.

a) Bằng cách thay đổi u bởi x2 trong biểu thức sinu, hãy biểu thị giá trị của u theo biến số x.

b) Xác định hàm số y = f(g(x))

Lời giải:

a) f(u)=sinx2

b) Hàm số: y=f(x2)=sinx2

Luyện tập 11: Hàm số y = log2(3x + 1)là hàm hợp của hai hàm số nào?

Lời giải:

Luyện tập 12: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = e3x + 1

b) y = log3(2x – 3)

Lời giải:

a) Đặt u = 3x + 1, ta có y = eu.

Khi đó ${y^{\prime }}_u={\left(e^u\right)}^{\prime }=e^u$ và ${u^{\prime }}_x=3.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: 

              ${y^{\prime }}_x={y^{\prime }}_u\cdot {u^{\prime }}_x=e^u\cdot 3=3e^u=3e^{3x+1}.$

b) Đặt u = 2x – 3, ta có y = log3u.

Khi đó ${y^{\prime }}_u={\left(lo{g}_{3}u\right)}^{\prime }=\frac{1}{u\ln 3}$ và ${u^{\prime }}_x=2.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

${y^{\prime }}_x={y^{\prime }}_u\cdot {u^{\prime }}_x=\frac{1}{u\ln 3}\cdot 2=3=\frac{2}{u\ln 3}=\frac{2}{\left(2x-3\right)\ln 3}.$

$Bài\; tập$

Bài tập 1: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

a) (u + v + w)' = u' + v' + w';

b) (u + v – w)' = u' + v' – w';

c) (uv)' = u'v';

d) ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{v^{\prime }}$ với v = v(x) ≠ 0, v' = v'(x) ≠ 0.

Lời giải:

Phát biểu đúng là: a), b).

Phát biểu c) sai vì (uv)' = u'v + uv'.

Phát biểu (d) sai vì ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}.$

Bài tập 2: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Chứng minh rằng (u .  v . w)' = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.

Lời giải:

Bài tập 3: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = 4x3 – 3x2 + 2x + 10;

b,$y=\frac{x+1}{x-1};$

c)$y=-2x\sqrt{x};$  

d) y = 3sinx + 4cosx – tanx;

e) y = 4x + 2ex;             

g) y = xlnx.

Lời giải:

a) y' = (4x3)' – (3x2)' + (2x)' + (10)'

        = 4.3.x2 – 3.2.x + 2.1

        = 12x2 – 6x + 2.

b) $y^{\prime }={\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^{\prime }=\frac{{\left(x+1\right)}^{\prime }\left(x-1\right)-\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}$

       $=\frac{1\cdot \left(x-1\right)-\left(x+1\right)\cdot 1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x-1-x-1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}.$

c) $y^{\prime }={\left(-2x\sqrt{x}\right)}^{\prime }={\left(-2x\right)}^{\prime }\cdot \sqrt{x}+\left(-2x\right)\cdot {\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }$

      $=-2\cdot \sqrt{x}-2x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-2\sqrt{x}-\sqrt{x}=-3\sqrt{x}.$   

d) y’ = (3sinx)' + (4cosx)' – (tanx)'

       $=3cosx–4sinx-\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

e) y' = (4x)' + (2ex)'

= 4xln4 + 2ex.

g) y' = (xlnx)' = (x)'.lnx + x.(lnx)'

       $=1\cdot lnx+x\cdot \frac{1}{x}=lnx+1.$

Bài tập 4: Cho hàm số f(x) = 23x + 2.

a) Hàm số f(x) là hàm hợp của các hàm số nào?

b) Tìm đạo hàm của f(x)

Lời giải:

a) Hàm số f(x) là hàm hợp của hai hàm số y=2u,u=3x+2

b) f′(x)=3.23x+2.ln2

Bài tập 5: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = sin3x + sin2x

b) y = log2(2x + 1) + 3−2x + 1

Lời giải:

Bài tập 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2 + 4 tại điểm có hoành độ x0 = 2;

b) y = lnx tại điểm có hoành độ x0 = e;

c) y = ex tại điểm có hoành độ x0 = 0.

Lời giải:

a) Từ y = x3 – 3x2 + 4, ta có: y' = (x3)' – (3x2)' + (4)' = 3x2 – 6x.

Do đó y'(2) = 3.22 – 6.2 = 12 – 12 = 0.

          y(2) = 23 – 3.22 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = 2 là:

y = 0(x – 2) + 0 = 0.

b) Từ y = lnx, ta có: $y^{\prime }={\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

Do đó và $y^{\prime }\left(e\right)=\frac{1}{e}$ = lne = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = e là

              $y=\frac{1}{e}\cdot \left(x–e\right)+1$ hay $y=\frac{1}{e}x.$

c) Từ y = ex, ta có: y' = (ex)' = ex.

Do đó y'(0) = e0 = 1 và y(0) = e0 = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = 0 là:

y = 1(x – 0) +1 hay y = x + 1.

Bài tập 7: Một viên đạn được bắn từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm mà tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy g = 9,8 m/s2)?

Lời giải:

Bài tập 8: Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q0. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q0sinωt, trong đó ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t). Cho biết Q0 = 10–8 (C) và ω = 106π (rad/s). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) (tính chính xác đến 10–5 mA)

Lời giải:

I(t) = q'(t) = (Q0sinωt)' = Q0ω.cosωt

Cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) là:

I(6) = 10–8 ∙106π.cos(106π.6) = 10–2π.cos0 = 0,01π (A).