Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Câu hỏi khởi động: Dân số được ước tính theo công thức S = A . ert, trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Hỏi sau bao nhiêu năm, dân số sẽ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính?

Lời giải:

I. Phương trình mũ và phương trình Lôgarit

Hoạt động 1: Trong bài toán ở phần mở đầu, giả sử r = 1,14% / năm.

a) Viết phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của luỹ thừa?

Lời giải:

a) Có S=2A

2A=A.e0,0114.t

=>2=e0,0114.t

=>ln2=0,0114.t

b) Ẩn trong phương trình trên là t, là số năm cần tìm để dân số gấp đôi dân số ban đầu. Nó nằm trong lũy thừa của số e, tức là e0,0114.t, đây là dấu hiệu cho thấy phương trình là một phương trình mũ.

Luyện tập 1: Cho hai ví dụ về phương trình mũ.

Lời giải:

- Hai ví dụ về phương trình mũ là: 3x+1 = 9 và 52x = 25.

Hoạt động 2:

a) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x và đường thẳng y = 7.

b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 3x = 7.

Lời giải:

a)⦁ Xét hàm số y = 3x có cơ số 3 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = 3x là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(-1;\frac{1}{3}\right);B\left(0;1\right);C\left(1;3\right);D\left(2;9\right)$  (hình vẽ).

⦁ Xét hàm số y = 7 có đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm có tung độ bằng 7 (hình vẽ).

b) Đồ thị hàm số y = 3x cắt đường thẳng y = 7 tại 1 điểm.

Vậy phương trình 3x = 7 có 1 nghiệm.

Luyện tập 2: Giải mỗi phương trình sau:

a) 916 – x = 27x + 4;                                   b) 16x – 2 = 0,25 . 2–x + 4.

Lời giải:

Hoạt động 3: Chỉ số thay đổi pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H+]  (trong đó [H+] chỉ nồng độ ion hydrogen). Đo chỉ số pH của một số mẫu nước sông, ta có kết quả là pH = 6,1.

a) Viết phương trình thể hiện nồng độ x của hydrogen [H+] trong mẫu nước sông đó.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lôgarit?

Lời giải:

a) Có pH=−log[H+] => [H+]=10−pH

Thay giá trị pH = 6,1 vào phương trình trên, ta có:

[H+]=10−6,1

b) Ẩn trong phương trình trên là [H+] , là nồng độ ion hydrogen của mẫu nước sông. Nó nằm trong hàm logarit ở vị trí mũi tên trên dấu "-" của công thức −log[H+] , tức là ở dạng lôgarit của phép tính "10 mũ số".

Luyện tập 3: Cho hai ví dụ về phương trình lôgarit.

Lời giải:

- Hai ví dụ về phương trình lôgarit là: log2(x + 3) = 8 và log3(x2 + x + 1) = 2.

Hoạt động 4:

a) Vẽ đồ thị hàm số y = log4x và đường thẳng y = 5.

b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình log4x = 5.

Lời giải:

a)⦁ Xét hàm số y = log4x có cơ số 4 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = log4x là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right);B\left(1;0\right);C\left(2;\frac{1}{2}\right);D\left(4;1\right);E\left(8;\frac{3}{2}\right)$  (hình vẽ).

⦁ Xét hàm số y = 5 có đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm có tung độ bằng 5 (hình vẽ).

b) Từ bảng biến thiên của hàm số y = log4x ta thấy đường thẳng y = 5 cắt đồ thị hàm số y = log4x tại 1 điểm.

Khi đó phương trình log4x = 5 có 1 nghiệm.

Luyện tập 4: Giải mỗi phương trình sau:

a) ${\log }_5\left(2x-4\right)+{\log }_{\frac{1}{5}}\left(x-1\right)=0;$

b) log2x + log4x = 3.

Lời giải:

a) log5(2x−4)+log15(x−1)=0

ĐKXĐ: {2x−4>0x−1>0

=>x>2

<=>log5(2x−4)+log5−1(x−1)=0

<=>log5(2x−4)=log5(x−1)

<=>2x−4=x−1

<=>x=3

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3

b) log2x+log4x=3

ĐKXĐ: x>0

<=>log2x+log2x12=3

<=>log2(x.x12)=3

<=>log2(x32)=log28

<=>x32=8

<=>x=4

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

II. Bất phương trình mũ và bất phương trình Lôgarit

Hoạt động 5: Quan sát Hình 11 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.$ Từ đó, hãy tìm x sao cho ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>2.$

Lời giải:

Luyện tập 5: Cho hai ví dụ về bất phương trình mũ cơ bản.

Lời giải:

2x>5

3x>12

Luyện tập 6: Giải mỗi bất phương trình sau:

a) 7x+3 < 343;                                        b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x\ge 3.$

Lời giải:

Ta có:

a) 7x+3 < 343

⇔x + 3 < log7343

⇔x + 3 < 3

⇔x < 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (–∞; 0).

b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x\ge 3$

$\iff x\le {\log }_{\frac{1}{4}}3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 

Hoạt động 6: Quan sát Hình 12 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lôgarit y = log2x. Từ đó, hãy tìm x sao cho log2x > 1.

Lời giải:

Hàm số y = log2x đồng biến trên tập xác định (0; +∞).

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = log2x ở phía trên đường thẳng y = 1 khi và chỉ khi x > 2.

Vậy log2x > 1 ⇔ x > 2.

Luyện tập 7: Cho hai ví dụ về bất phương trình logarit cơ bản.

Lời giải:

log2x>4

log4x>16

Luyện tập 8: Giải mỗi bất phương trình sau:

a) log3x < 2;                                          b) ${\log }_{\frac{1}{4}}\left(x-5\right)\ge -2.$

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Giải mỗi phương trình sau:

a) (0,3)x–3 = 1;                                       b) 53x–2 = 25;

c) 9x–2 = 243x+1;                                    d) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)=-3;$       

e) log5(3x – 5) = log5(2x + 1);                g) ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+9\right)={\log }_{\frac{1}{7}}\left(2x-1\right).$

Lời giải:

a) (0,3)x–3 = 1⇔ x – 3 = log0,31 ⇔x – 3 = 0 ⇔x = 3.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=3.

b) 53x–2 = 25

⇔53x–2 = 52

⇔ 3x – 2 = 2

$\iff x=\frac{4}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{4}{3}.$

c) 9x–2 = 243x+1⇔32x–4 = 35x+5

⇔ 2x – 4 = 5x + 5 ⇔ 3x = –9 ⇔ x = –3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –3.

d) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)=-3\iff x+1={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\iff x+1=8\iff x=7$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=7.

e) log5(3x – 5) = log5(2x + 1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=6.

f) $\log \frac{1}{7}\left(x+9\right)=\log \frac{1}{7}\left(2x-1\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=10.

Bài tập 2: Giải mỗi bất phương trình sau:

a) $3^x>\frac{1}{243};$                                          b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x-7}\le \frac{3}{2};$

c) 4x+3 ≥ 32x;                                         d) log(x – 1) < 0;

e) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(2x-1\right)\ge {\log }_{\frac{1}{5}}\left(x+3\right);$                g) ln(x + 3) ≥ ln(2x – 8).

Lời giải:

Bài tập 3: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất x% / năm (x > 0). Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm x, biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Lời giải:

Có công thức: 100.(1+x100)3=119,1016

<=>1+x100=1.06

<=>x100=0,06

<=>x=6

Bài tập 4: Sử dụng công thức tính mức cường độ âm L ở Ví dụ 14, hãy tính mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được, biết rằng giá trị cực đại của mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được là 130dB.

Lời giải:

Ta có công thức tính mức cường độ âm L (đơn vị dB) là $L=10\log \frac{I}{{10}^{-12}}$

Do giá trị cực đại của mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được là 130dB nên ta có L ≤ 130

$\iff 10\log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 130\iff \log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 13$

$\iff \frac{I}{{10}^{-12}}\le {10}^{13}\iff I\le {10}^{13}{.10}^{-12}\iff I\le 10$

Vậy cường độ âmmà tai người có thể chịu đựng được là 10 W/m2.