Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Hoạt động khởi động: Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức h(t) = 6t3 – 81t2 + 324t. Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào thì khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Trả lời:

Dựa vào đồ thị ta thấy:

+) Trong khoảng thời gian từ 0 – 3 giây và 6 – 8 giây thì khinh khí cầu tăng dần độ cao.

+) Trong khoảng thời gian từ 3 – 6 giây thì khinh khí cầu giảm dần độ cao.

+) Tại thời điểm 3 phút sau khi xuất phát khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ tăng dần sang giảm dần nên độ cao của nó đang đạt cực đại.

+) Tại thời điểm 6 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ giảm dần sang tăng dần nên độ cao của nó là một điểm cực tiểu.

1. Tính đơn điệu của hàm số

Thực hành 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.

Trả lời:

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; -2) và (-1; 0)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; -1) và (0; 1)

Thực hành 2: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) f(x) = x3 – 6x2 + 9x;                                b) $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Trả lời:

a) Tập xác định: D = ℝ.

Ta có f'(x) = 3x2 – 12x + 9; f'(x) = 0 ⇔ 3x2 – 12x + 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞), nghịch biến trên khoảng (1; 3).

b) Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}<\mathrm{0,}\forall x\ne 0.$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Thực hành 3: Chứng minh rằng hàm số f(x) = 3x – sinx đồng biến trên ℝ.

Trả lời:

Xét hàm số  

Tập xác định: 

Ta có: 

Lại có: 

 với mọi 

Vậy hàm số  đồng biến trên .

Vận dụng 1: Hãy trả lời câu hỏi trong phần khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số h(t) = 6t3 – 81t2 + 324t với 0 ≤ t ≤ 8.

Trả lời:

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có h'(t) = 18t2 – 162t + 324; h'(t) = 0 ⇔ 18t2 – 162t + 324 = 0 ⇔ t = 3 hoặc t = 6.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Trong khoảng thời gian (0; 3) và (6; 8) thì khinh khí cầu tăng dần độ cao và trong khoảng (3; 6) thì khinh khí cầu giảm dần độ cao.

2. Cực trị của hàm số

Khám phá 2: Quan sát đồ thị của hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 1 trong Hình 5.

a) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 0 mà trên đó f(x) < f(0) với mọi x ≠ 0.

b) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 2 mà trên đó f(x) > f(2) với mọi x ≠ 2.

c) Tồn tại hay không khoảng (a; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi x ≠ 1 hoặc f(x) < f(1) với mọi x ≠ 1.

Trả lời:

a) Trên khoảng  với mọi .

b) Trên khoảng  với mọi .

c) Không tồn tại khoảng  chứa điểm mà trên đó  với mọi  hoặc  với mọi 

Thực hành 4: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 8.

Trả lời:

Dựa vào đồ thị ta có:

+) x = 5 là điểm cực đại của hàm số vì f(x) < f(5) với mọi x ∈ (3; 7)\{5}, yCĐ = y(5) = 5.

+) x = 3 là điểm cực tiểu của hàm số vì f(x) > f(3) với mọi x ∈ (1; 5)\{3}, yCT = y(3) = 2.

+) x = 7 là điểm cực tiểu của hàm số vì f(x) > f(7) với mọi x ∈ (5; 9)\{7}, yCT = y(7) = 1.

Khám phá 3: Đồ thị của hàm số $y=\{\begin{array}{c}{x}^2\text{khi}x\le 1\\ 2-x\text{khi}x>1\end{array}$ được cho ở Hình 9.

a) Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số.

b) Tại x = 1, hàm số có đạo hàm không?

c) Thay mỗi dấu ? bằng kí hiệu (+, −) thích hợp để hoàn thành bảng biến thiên dưới đây. Nhận xét về dấu của y' khi x đi qua điểm cực đại, cực tiểu.

Trả lời:

a) Hàm số y = f(x) có: 

 là điểm cực đại vì với mọi 

là điểm cực tiểu vì với mọi 

b) Tại , hàm số không có đạo hàm vì đồ thị bị gấp khúc.

c) Bảng biến thiên: 

Từ bảng biến thiên, ta có thể thấy, khi đi qua các điểm cực đại và cực tiểu thì y' đổi dấu.

Thực hành 5: Tìm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$.

Trả lời:

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có $g^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x+1\right)\left(x+1\right)-\left(x^2+x+4\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{{\left(x+1\right)}^2}$

Có g'(x) = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −3.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = −3 và yCĐ = y(−3) = −5.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 3.

Vận dụng 2: Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số $y=h\left(x\right)=-\frac{1}{1320000}{x}^3+\frac{9}{3520}{x}^2-\frac{81}{44}x+840$ với 0 ≤ x ≤ 2000. Tìm tọa độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đọan [0; 2000].

(Theo: Tập bản đồ bài tập và bài thực hành Địa lí 8, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011).

Trả lời:

Xét hàm số 

Tập xác định: 

Ta có: 

 hoặc  (thỏa mãn điều kiện xác định)

Bảng biến thiên: 

Vậy trên đoạn :

Tọa độ đỉnh cực tiểu của dãy núi là 

Tọa độ đỉnh cực đại của dãy núi là 

Bài tập

Bài tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.

Trả lời:

a) Dựa vào đồ thị ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và (2; 4).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 2) và (4; 5).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; x = 4 và y­CT = −1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCĐ = 2.

b) Dựa vào đồ thị ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; −1) và (1; 3).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và yCĐ = 3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = −1.

Bài tập 2:  Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 4x3 + 3x2 – 36x + 6;                         b) $y=\frac{x^2-2x-7}{x-4}$.

Trả lời:

a) Xét hàm số 

Tập xác định:  

Ta có: 

 hoặc   

Bảng biến thiên: 

Hàm số  đồng biến trên các khoảng  và ; hàm số nghịch biến trên các khoảng     

Hàm số đạt cực tiểu tại  , giá trị cực tiểu là; hàm số cực đại tại, giá trị cực đại là .

b) Xét hàm số . 

Tập xác định: 

Ta có: = 

=  = 

Vì  với mọi  nên  

Bảng biến thiên: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng 

Hàm số không có cực trị. 

Bài tập 3:  Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x + 1;

b) $y=\frac{x^2-8x+10}{x-2}$;

c) $y=\sqrt{-x^2+4}$.

Trả lời:

a) Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 6x2 + 6x – 36; y' = 0 ⇔ 6x2 + 6x – 36 = 0 ⇔ x = −3 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = −3 và yCĐ = 82.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = −43.

b) Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Có $y^{\prime }=\frac{\left(2x-8\right)\left(x-2\right)-\left(x^2-8x+10\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{x^2-4x+6}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{{\left(x-2\right)}^2+2}{{\left(x-2\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne 2.$

Bảng biến thiên

Hàm số không có cực trị.

c) Tập xác định: D = [−2; 2].

Có $y^{\prime }=\frac{{\left(-x^2+4\right)}^{\prime }}{2\sqrt{-x^2+4}}=\frac{-x}{\sqrt{-x^2+4}}$; y' = 0 Û x = 0.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 2.

Hàm số không có cực tiểu.

Bài tập 4:  Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Trả lời:

Tập xác định: 

Ta có: 

Vìnên 

Vậy hàm số  nghịch biến trên 

Bài tập 5:  Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 và 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức f(x) = 0,01x3 – 0,04x2 + 0,25x + 0,44 (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 (0 ≤ x ≤ 7).

a) Tính đạo hàm của hàm số y = f(x).

b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

Trả lời:

a) f'(x) = 0,03x2 – 0,08x + 0,25.

b) Có f'(x) = 0,03x2 – 0,08x + 0,25

$=\mathrm{0,03}\left(x^2-\frac{8}{3}x\right)+\mathrm{0,25}$

$=\mathrm{0,03}{\left(x-\frac{4}{3}\right)}^2+\frac{59}{300}>\mathrm{0,}\forall x$

Do đó f(x) là hàm đồng biến. Điều này chứng tỏ kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

Bài tập 6:  Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x(t) = t3 – 6t2 + 9t với t ≥ 0. Khi đó x'(t) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu v(t); v'(t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu a(t).

a) Tìm các hàm v(t) và a(t).

b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

Trả lời:

a) Ta có: 

b) Xét hàm số  

Tập xác định: 

Bảng biến thiên: 

Vậy thì vận tốc của chất điểm giảm, từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng

Bài tập 7: Đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Trả lời:

Dựa vào đồ thị của hàm y =  f'(x), ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (−1; 2) và (4; 5).

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (−2; −1) và (2; 4).

Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = −1 và x = 4.

Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 2.