Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Hoạt động khởi động: Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức:

$C\left(v\right)=\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v\left(0<v\le 120\right)$

Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của C(v) theo v, người ta đã vẽ đồ thị hàm số C = C(v) như hình bên. Làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số này?

Trả lời:

– Tập xác định: D = (0; 120].

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

● Đạo hàm C'(v) = $-\frac{16000}{v^2}+\frac{5}{2}=\frac{5\left(v-80\right)\left(v+80\right)}{2v^2}$;

C'(v) = 0 ⇔ v = – 80 (loại) hoặc v = 80.

● Trên khoảng (0; 80), C'(v) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

● Trên khoảng (80; 120), C'(v) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại v = 80, CCT = C(80) = 400.

+ Giới hạn vô cực và tiệm cận: $\underset{v\to 0^{+}}{\lim }C\left(v\right)=\underset{v\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v\right)=+\infty$ nên đường thẳng v = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (80; 400) và đi qua các điểm (40; 500), (100; 410), $\left(120;\frac{1300}{3}\right)$ như hình dưới đây.

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Khám phá: Cho hàm số y = – x2 + 4x – 3.

a) Lập bảng biến thiên.

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

Trả lời:

a) Tập xác định: 

• Chiều biến thiên: 

Ta có:  

Trên khoảng ,  nên hàm số đồng biến trên khoảng đó

Trên khoảng ,  nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó

• Cực trị:

Hàm số đạt tại cực đại tại  và 

Hàm số không có cực tiêu

• Các giới hạn tại vô cực:

• Bảng biến thiên: 

b) Đồ thị hàm số:

Khi  thì  là giao điểm của đồ thị với trục . 

Ta có:  hoặc  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục  tại hai điểm  và  

2. Khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

Thực hành 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = – 2x3 – 3x2 + 1;

b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2.

Trả lời:

a) y = – 2x3 – 3x2 + 1

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = – 6x2 – 6x; y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (0; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (– 1; 2), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1 và yCT = 0. 

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(-2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}\right)=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(-2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}\right)=-\infty$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ – 2x3 – 3x2 + 1 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = $\frac{1}{2}$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (– 1; 0) và $\left(\frac{1}{2};0\right)$

Điểm (0; 1) là điểm cực đại và điểm (– 1; 0) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

               y' = 0 ⇔ x = – 1.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số đã cho không có cực trị.

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)=+\infty$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x3 + 3x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ x = – 2.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0).

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm (– 2; 0), (– 1; 1) và (0; 2).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(– 1; 1).

3. Khảo sát hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ (c ≠ 0, ad-bc ≠ 0)

Thực hành 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x+1}{x-1}$;

b) $y=\frac{2x}{3x-1}$;

c) $y=\frac{5+x}{2-x}$.

Trả lời:

a) $y=\frac{x+1}{x-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}$. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-1}=1;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-1}=1$. Suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0), giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 1.

b) $y=\frac{2x}{3x-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\$\left\{\frac{1}{3}\right\}$.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{-2}{{\left(3x-1\right)}^2}$. Vì y' < 0 với mọi x ≠ $\frac{1}{3}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$.

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x}{3x-1}=\frac{2}{3};\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{3x-1}=\frac{2}{3}$. Suy ra đường thẳng y = $\frac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{-}}{\lim }\frac{2x}{3x-1}=-\infty ;\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{+}}{\lim }\frac{2x}{3x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = $\frac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm (1; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I$\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$. Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = $\frac{1}{3}$ và y = $\frac{2}{3}$.

c) $y=\frac{5+x}{2-x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{7}{{\left(2-x\right)}^2}$. Vì y' > 0 với mọi x ≠ 2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5+x}{2-x}=-1;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5+x}{2-x}=-1$. Suy ra đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{5+x}{2-x}=+\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{5+x}{2-x}=-\infty$. Suy ra đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 5; 0), giao với trục Oy tại điểm $\left(0;\frac{5}{2}\right)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(2; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 2 và y = – 1.  

4. Khảo sát hàm số $y=\frac{ax^{2}+b}{mx+n}$ (a ≠ 0, m ≠ 0, đa thức từ không chia hết cho đa thức mẫu

Thực hành 3: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=x-\frac{1}{x}$;

b) $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$;

c) $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$.

Trả lời:

a) 

1. Tập xác định: 

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  và .

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

; 

Ta có: ; 

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ; .

Suy đường thẳng  hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Ta có:  hoặc 

Đồ thị của hàm số giao với trục  tại điểm  và 

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm  trùng với gốc tọa độ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận  và  .

b) 

1. Tập xác định: 

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm  hoặc 

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. 

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. 

• Cực trị: 

Hàm số đạt cực tiểu tại 

Hàm số đạt cực đại tạo 

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

; 

Ta có: ; 

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ; .

Suy đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Ta có:  hoặc 

Đồ thị của hàm số giao với trục  tại điểm  và 

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận  và .

c) 

1. Tập xác định: 

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  và 

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

; 

Ta có: ; 

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ; .

Suy đường thẳng  hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Ta có:  hoặc 

Đồ thị của hàm số giao với trục  tại điểm và 

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận  và .

5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Thực hành 4: Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d' là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d' > 0, ảnh ảo thì d' < 0). Ta có công thức:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d^{\prime }}$ hay $d^{\prime }=\frac{df}{d-f}$.

(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187).

Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d'. Ta có hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$ và x ≠ 3.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?

Trả lời:

a) Vì d > 0 nên với x = d thì x > 0.

Xét hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$ với x > 0 và x ≠ 3.

1. Tập xác định: D = (0; 3) ∪ (3; + ∞).

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{-9}{{\left(x-3\right)}^2}$. Vì y' < 0 với mọi x > 0 và x ≠ 3 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 3) và (3; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{x-3}=3$. Suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{3x}{x-3}=-\infty ;\underset{x\to 3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{3x}{x-3}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; – 6) và điểm (6; 6).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

b)

● Để vật là ảnh thật thì d' > 0, tức là y > 0.

Quan sát đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$, ta thấy trên khoảng (3; + ∞), đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox nên y > 0 trên khoảng này. Vậy với x > 3, tức d > 3 hay khoảng cách từ vật đến thấy kính lớn hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh thật.

● Để vật là ảnh ảo thì d' < 0, tức là y < 0.

Quan sát đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$, ta thấy trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox nên y < 0 trên khoảng này. Vậy với x ∈ (0; 3), tức d ∈ (0; 3) hay khoảng cách từ vật đến thấu kính lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm, tức vị trí A tiến gần đến vị trí F, thì khoảng cách AF dần tiến tới 0, hay d – f → 0, suy ra d → f, tức là x → 3.

Thực hành 5: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.

a) Hãy biểu thị y theo x.

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

$S\left(x\right)=500+4x+\frac{1000}{x}$.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; + ∞).

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Trả lời:

a) Ta có thể tích 

b) Ta có diện tích toàn phần:

c) Tập xác định: .

  hoặc  (loại). 

Bảng biến thiên: 

d) Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = .

Suy ra, để dùng ít vật liệu nhất, kích thước của hộp là: x = , 

Bài tập

Bài tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x3 + x – 2;

b) y = 2x3 + x2 – $\frac{1}{2}x$ – 3. 

Trả lời:

a) y = x3 + x – 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 3x2 + 1; y' > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)=+\infty$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 2 nên (0; – 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x3 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0; – 2).

b) y = 2x3 + x2 – $\frac{1}{2}x$ – 3

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 6x2 + 2x – $\frac{1}{2}$; y' = 0 ⇔ x = $-\frac{1}{2}$ hoặc x = $\frac{1}{6}$.

Trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{6};+\infty \right)$, y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$, y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-\frac{1}{2}$ và yCĐ = $-\frac{11}{4}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{1}{6}$ và yCT = $-\frac{329}{108}$.

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{3}{x^3}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{3}{x^3}\right)=+\infty$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 3 nên (0; – 3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ 2x3 + x2 – $\frac{1}{2}x$ – 3 = 0, phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.

Điểm $\left(-\frac{1}{2};-\frac{11}{4}\right)$ là cực đại và điểm $\left(\frac{1}{6};-\frac{329}{108}\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I$\left(-\frac{1}{6};-\frac{313}{108}\right)$.

Bài tập 2: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2.

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y" = 0.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Trả lời:

a) Tập xác định: 

Ta có:   = 0; 

Thay   I (1;0)

b) ;  hoặc  

Hàm số đạt cực tiểu tại 

Hàm số đạt cực đại tạo 

Trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị có tọa độ là: 

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị trùng với tọa độ điểm I hay điểm I chính là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị  của đồ thị hàm số. 

Bài tập 3: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 3 + $\frac{1}{x}$;

b) $y=\frac{x-3}{1-x}$.

Trả lời:

a) y = 3 + $\frac{1}{x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{0}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{-1}{x^2}$. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=3;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=3$. Suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=-\infty ;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ 3 + $\frac{1}{x}$ = 0 $\iff x=-\frac{1}{3}$ nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm $\left(-\frac{1}{3};0\right)$.

Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.

Ngoài ra, đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 2) và (1; 4).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(0; 3). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 và y = 3.

b) $y=\frac{x-3}{1-x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{-2}{{\left(1-x\right)}^2}$. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-3}{1-x}=-1;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-3}{1-x}=-1$. Suy ra đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x-3}{1-x}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{1-x}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có x = 0 thì y = – 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; – 3).

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{x-3}{1-x}=0$ ⇔ x = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (3; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = – 1.

Bài tập 4: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1};$

b) $y=2x-\frac{1}{1-2x}$.

Trả lời:

a)

1. Tập xác định: 

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm ;  hoặc 

Trên các khoảng  và  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng ,  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

; 

Ta có:  

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ; .

Suy đường thẳng  hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục  tại điểm 

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm  trùng với gốc tọa độ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận  và .

b) 

1. Tập xác định: 

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm ;  hoặc 

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. 

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. 

• Cực trị: 

Hàm số đạt cực tiểu tại 

Hàm số đạt cực đại tại 

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có:  

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: ; .

Suy đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục  tại điểm 

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận  và .

Bài tập 5: Cho hàm số $y=\frac{-x^2+3x+1}{x+2}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Trả lời:

a) Xét hàm số $y=\frac{-x^2+3x+1}{x+2}$.

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 2}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{-x^2-4x+5}{{\left(x+2\right)}^2}$. Ta có y' = 0 ⇔ x = – 5 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (– ∞; – 5) và (1; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 5; – 2) và (– 2; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 5 và yCT = 13.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCĐ = 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^2+3x+1}{x+2}=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }=\frac{-x^2+3x+1}{x+2}=-\infty$

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2+3x+1}{x\left(x+2\right)}=-1$ và $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{-x^2+3x+1}{x+2}-\left(-1\right)x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x+1}{x+2}=5$.

Suy ra đường thẳng y = – x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{-x^2+3x+1}{x+2}=+\infty ;\underset{x\to -2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{-x^2+3x+1}{x+2}=-\infty$.

Suy ra đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm và đi qua các điểm (– 5; 13), (1; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 2; 7).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 2 và y = – x + 5. 

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 5; 13) và (1; 1).

Ta có $\{\begin{array}{c}\frac{-5+1}{2}=-2\\ \frac{13+1}{2}=7\end{array}$. Vậy tọa độ trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 2; 7), đây chính là tâm đối xứng I của đồ thị hàm số.

Vậy trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng với tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Bài tập 6: Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.

Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Trả lời:

a) Chiều cao của hộp bằng:  

Độ dài ở đáy hộp bằng: 

Vậy thể tích hộp sẽ bằng:  

b) Tập xác định: 

• Chiều biến thiên:

 hoặc  (loại)

Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng . 

• Cực trị:

          Hàm số đạt cực đại tại 

• Bảng biến thiên: 

• Đồ thị: 

Ta có:  hoặc  

Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ .

Đồ thị của hàm số giao với trục  tại điểm