Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Hoạt động khởi động: Trong không gian, làm thế nào để biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ máy bay đến trạm kiểm soát trên mặt đất.

Trả lời:

- Dùng đoạn thẳng có hướng chỉ từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát.

1. Vectơ trong không gian

Khám phá 1: Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt phẳng. Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng không?

Trả lời:

- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

- Ta có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng bằng cách sử dụng đoạn thẳng có hướng trong không gian.

Thực hành 1: Trong hoạt động khởi động, tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát.

Trả lời:

- Vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát là $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$.

Thực hành 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy.

b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ $\overrightarrow{SA}$ .

c) Tìm các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{CB}$ .

Trả lời:

Vận dụng 1: Trong Hình 4, cho biết ba vectơ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp AB, AC, AD tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

Trả lời:

- Giá của ba vectơ  là ba cạnh bên của một hình chóp tam giác nên không cùng nằm trên một mặt phẳng. 

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Khám phá 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5).

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ .

Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), tìm vectơ tổng ${A^{\prime }{B}^{\prime }}^{}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ , $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ , $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ .

c) Giải thích tại sao $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ .

Trả lời:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

$\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

b) Vì AA'B'B là hình bình hành, suy ra AB // A'B' và AB = A'B'.

Ta có hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$.

Tương tự: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ .

c) Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ mà $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}.$

Khám phá 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Tìm các vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .

b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ .

Trả lời:

a) .

b) .

Thực hành 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vectơ:

a) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}$ ;

b) $\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AB}$ .

Trả lời:

a) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DF}$.

b) Vì DCGH là hình bình hành nên $\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{HD}$ .

Tương tự ABGH là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HG}$ .

Do đó $\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{HB}$ (theo quy tắc hình hộp).

Khám phá 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ hiệu $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ .

Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), tìm vectơ hiệu $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ , $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ , $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}$ .

c) Giải thích tại sao $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ .

Trả lời:

a) .

b)  

c) Vì: 

Thực hành 4: Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm các vectơ:

a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{ND}$ ;

b) $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NC}$ .

Trả lời:

a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{ND}$ $=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{ND}$$=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}$$=\overrightarrow{MN}$

(Do M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$).

b) $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NC}$ $=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{NC}$ $=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{MN}$ (vì $\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$).

Thực hành 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây:

a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ ;

b) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{C^{\prime }A}$ .

Trả lời:

a) .

b) .

Vận dụng 2: Ba lực  $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2 N; 3N; 4 N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.

Trả lời:

Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 2 N; 3N; 4 N.

Vẽ $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{F_3}$ .

Dựng các hình chữ nhật OADB và OCED.

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD};\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$ .

Khi đó hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$.

Vì OADB là hình chữ nhật nên $OD=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

Vì OCED là hình chữ nhật nên OE = $\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}\approx 5,4$ .

Vậy độ lớn của hợp lực F khoảng 5,4 N.

3. Tích của một số với một vectơ

Khám phá 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C cắt nhau tại O (Hình 18).

a) Tìm vectơ ${AB}^{}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .

b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a và vectơ $\overrightarrow{AO}$ .

Trả lời:

a) .

b) 

Thực hành 6: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có M là trung điểm của BB' (Hình 20). Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{c}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$.

Trả lời:

Vì M là trung điểm của BB' nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ .

Do ABC.A'B'C' là lăng trụ nên $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ .

Có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$ .

Vận dụng 3: Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60°$ (Hình 22).

a) Sử dụng công thức $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ trong đó $\overrightarrow{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m/s2, tìm độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm.

b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Trả lời:

a) Độ lớn của trọng lực tác động lên chiếc đèn chùm là: 

.

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Khám phá 6:

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong mặt phẳng.

b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong không gian.

Trả lời:

a) Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác $\overrightarrow{0}$ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$ .

Góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Kí hiệu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ .

b) Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác $\overrightarrow{0}$ . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ . Khi đó, ta gọi $\widehat{BAC}$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ . Kí hiệu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ .

Thực hành 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\right)$, $\left(\overrightarrow{A^{\prime }A},\overrightarrow{C{B}^{\prime }}\right)$.

Trả lời:

 ( là tâm của hình vuông );

Khám phá 7: Trong không gian, cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$  thỏa mãn $\left|\overrightarrow{u}\right|=2,\left|\overrightarrow{v}\right|=3$. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ (Hình 25). Giả sử $\widehat{BAC}=60°$.

a) Tính góc $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ .

Trả lời:

a) Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ nên $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=60°$ .

b) Vì $\left|\overrightarrow{u}\right|=2,\left|\overrightarrow{v}\right|=3$  nên $\left|\overrightarrow{AB}\right|=2,\left|\overrightarrow{AC}\right|=3$ .

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$$=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ $=\mathrm{2.3.}\cos 60°$.

Thực hành 8: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ , $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ .

b) Tính góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right)$ (kết quả làm tròn đến phút).

Trả lời:

a) 

Ta có: 

b) Ta có: 

Vậy 

Vận dụng 4: Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30° (Hình 27).

a) Tính độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\overrightarrow{g}$ có độ lớn là g = 9,8 m/s2.

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ được tính bởi công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$ . Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Trả lời:

a) Ta có $\left|\overrightarrow{P}\right|=m\left|\overrightarrow{g}\right|=25.9,8=245$N.

b)

Theo đề ta có $A=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{d}$ ,$\left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)=60°$

$A=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{d}$$=\left|\overrightarrow{P}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)=245.3,5.\cos 60°\approx 428,75$ J.

Bài tập

Bài tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$;

b) $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$;

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{0}$.

Trả lời:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành.

Khi đó $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$; $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}\left(=\overrightarrow{BC}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (theo quy tắc hình hộp).

b) $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$

Có $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$

$=\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\left(\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\right)$

$=\overrightarrow{BB\text{'}}$

Vì $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{D^{\prime }B}+\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$.

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{0}$

Vì AD // B'C' và AD = B'C' (do cùng song song và bằng BC).

Do đó ADC'B' là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }D}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{0}$.

Tương tự DA'B'C là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }C}$ và $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{B^{\prime }C}+\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\prime }D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }C}+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}\right)+\overrightarrow{C^{\prime }D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }C}+\overrightarrow{D{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }D}$

$=\left(\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }D}\right)+\left(\overrightarrow{B^{\prime }C}+\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\right)=\overrightarrow{0}$

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh rằng $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Trả lời: