Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Hoạt động khởi động: Trong không gian Oxyz, có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trong mặt phẳng Oxy không?

$\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right),\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime }\right)$

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a^{\prime }}=?$

Trả lời:

- Trong không gian Oxyz, ta có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trên mặt phẳng tọa độ.

1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ

Khám phá 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ với số thực m.

a) Biểu diễn từng vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},m\overrightarrow{a}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$, từ đó suy ra tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},m\overrightarrow{a}$ .

Trả lời:

Thực hành 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;-5;3\right),\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right),\overrightarrow{c}=\left(1;7;2\right)$.

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$ .

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$ .

c) Chứng minh $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{m}=\left(-6;15;-9\right)$ .

Trả lời:

Vận dụng 1: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\overrightarrow{v}=\left(10;8;-3\right)$ (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là $\overrightarrow{w}=\left(3,5;1;0\right)$ .

a) Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{w}$ .

b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc $\overrightarrow{u}=\left(7;2;0\right)$ , hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.

Trả lời:

a) $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(10+3,5;8+1;-3+0\right)=\left(13,5;9;-3\right)$ .

b) Vì $\overrightarrow{u}=\left(7;2;0\right)=2\left(3,5;1;0\right)=2\overrightarrow{w}$ .

Do đó hai vectơ này cùng phương, cùng hướng với nhau.

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Khám phá 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$.

a) Biểu diễn từng vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

b) Tính các tích vô hướng ${\overrightarrow{i}}^2,{\overrightarrow{j}}^2,{\overrightarrow{k}}^2,\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j},\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k},\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}$ .

c) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ theo tọa độ của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Trả lời:

a) ;  

b) ; 

c)  = ).  = 

Thực hành 2: Cho ba vectơ $\overrightarrow{m}=\left(-5;4;9\right)$, $\overrightarrow{n}=\left(2;-7;0\right)$, $\overrightarrow{p}=\left(6;3;-4\right)$.

a) Tính $\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}.\overrightarrow{p}$ .

b) Tính $\left|\overrightarrow{m}\right|,\left|\overrightarrow{n}\right|,\cos \left(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\right)$ .

c) Cho $\overrightarrow{q}=\left(1;-2;0\right)$ . Vectơ $\overrightarrow{q}$ có vuông góc với $\overrightarrow{p}$ không?

Trả lời:

a) $\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n}=\left(-5\right).2+4.\left(-7\right)+9.0=-38$ .

$\overrightarrow{m}.\overrightarrow{p}=\left(-5\right).6+4.3+9.\left(-4\right)=-54$

b)

c) Có $\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q}=6.1+3.\left(-2\right)+\left(-4\right).0=0$ . Do đó $\overrightarrow{p}\perp \overrightarrow{q}$ .

Vận dụng 2: Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực $\overrightarrow{f}=\left(5;4;-2\right)$ (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời $\overrightarrow{a}=\left(70;20;-40\right)$(đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{f}$ .

Trả lời:

Công sinh bởi lực được $\overrightarrow{f}$ tính theo công thức

$A=\overrightarrow{f}.\overrightarrow{a}=5.70+4.20+\left(-2\right).\left(-40\right)=510$ J.

3. Vận dụng

Khám phá 3: Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right),B\left(x_B;y_B;z_B\right)$. Từ biểu thức $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$  theo tọa độ hai điểm A, B.

Trả lời:

Thực hành 3: Cho ba điểm M(7; −2; 0), N(−9; 0; 4), P(0; −6; 5).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{MP}$ .

b) Tính các độ dài MN, NP, MP.

Trả lời:

a) $\overrightarrow{MN}=\left(-9-7;0+2;4-0\right)=\left(-16;2;4\right)$ ;

$\overrightarrow{NP}=\left(0+9;-6-0;5-4\right)=\left(9;-6;1\right)$;

$\overrightarrow{MP}=\left(0-7;-6+2;5-0\right)=\left(-7;-4;5\right)$.

b) $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(-16\right)}^2+2^2+4^2}=2\sqrt{69}$.

$\left|\overrightarrow{NP}\right|=\sqrt{9^2+{\left(-6\right)}^2+1}=\sqrt{118}$.

$\left|\overrightarrow{MP}\right|=\sqrt{{\left(-7\right)}^2+{\left(-4\right)}^2+5^2}=3\sqrt{10}$.

Khám phá 4: Cho tam giác ABC có A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC). Gọi M(xM; yM; zM) là trung điểm của đoạn thẳng AB và G(xG; yG; zG) là trọng tâm của tam giác ABC. Sử dụng các hệ thức vectơ $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right);\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$, tìm tọa độ của các điểm M và G.

Trả lời:

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(x_A;y_A;z_A\right);\overrightarrow{OB}=\left(x_B;y_B;z_B\right);\overrightarrow{OC}=\left(x_C;y_C;z_C\right)$ .

Có 

Do đó $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$ .

Do đó $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$ .

Thực hành 4: Cho tam giác MNP có M(2; 1; 3), N(1; 2; 3), P(−3;−1; 0). Tìm tọa độ:

a) Các điểm M', N', P' lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, MP, MN;

b) Trọng tâm G của tam giác M'N'P'.

Trả lời:

Vận dụng 3: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác đều cạnh a, O là trung điểm của BC. Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như Hình 3, hãy tìm tọa độ:

a) Các điểm A, S, B, C.

b) Trung điểm M của SB và trung điểm N của SC.

c) Trọng tâm G của tam giác SBC.

Trả lời:

a)

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, O là trung điểm của BC nên AO là đường cao.

Suy ra $AO=a\frac{\sqrt{3}}{2}$ và OB = OC = $\frac{a}{2}$ .

Vì $\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{i}$ cùng hướng và $OC=\frac{a}{2}$ nên $\overrightarrow{OC}=\frac{a}{2}\overrightarrow{i}$ . Suy ra $C\left(\frac{a}{2};0;0\right)$ .

Vì $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{i}$ ngược hướng và $OB=\frac{a}{2}$ nên $\overrightarrow{OB}=-\frac{a}{2}\overrightarrow{i}$ . Suy ra $B\left(-\frac{a}{2};0;0\right)$ .

Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{j}$ cùng hướng và $OA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $\overrightarrow{OA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}$ . Suy ra $A\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$

Gọi I là hình chiếu của S trên Oz.

Ta có OI = SA.

Vì OI và $\overrightarrow{k}$ cùng hướng và OI = a nên $\overrightarrow{OI}=a\overrightarrow{k}$ .

Theo quy tắc hình bình hành có: $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OI}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}+a\overrightarrow{k}$ .

Do đó $S\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$ .

b) Tọa độ trung điểm M của SB là

$M\left(\frac{0-\frac{a}{2}}{2};\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}+0}{2};\frac{a+0}{2}\right)$ hay $M\left(-\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{2}\right)$ .

Tọa độ trung điểm N của SC là

$N\left(\frac{0+\frac{a}{2}}{2};\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}+0}{2};\frac{a+0}{2}\right)$ hay $N\left(\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{2}\right)$ .

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác SBC là:

$G\left(\frac{0-\frac{a}{2}+\frac{a}{2}}{3};\frac{0+\frac{a\sqrt{3}}{2}+0}{3};\frac{0+a+0}{3}\right)$ hay $G\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{6};\frac{a}{3}\right)$ .

Thực hành 5: Cho tam giác MNP có M(0; 1; 2), N(5; 9; 3), P(7; 8; 2).

a) Tìm tọa độ điểm K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MNP.

b) Tìm độ dài cạnh MN và MP.

c) Tính góc M.

Trả lời:

Vận dụng 4: Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có tọa độ là A(1; 1; 1), B(5; 7; 9), C(9; 11; 4). Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc $\widehat{BAC}$ .

Trả lời:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(4;6;8\right)$ ; $\overrightarrow{AC}=\left(8;10;3\right)$ ; $\overrightarrow{BC}=\left(4;4;-5\right)$ .

Khi đó: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{4^2+6^2+8^2}=2\sqrt{29}$;

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{8^2+{10}^2+3^2}=\sqrt{173}$;

$\overrightarrow{BC}=\sqrt{4^2+4^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{57}$.

b) Ta có $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{4.8+6.10+8.3}{2\sqrt{29}.\sqrt{173}}=\frac{119}{2\sqrt{5017}}$ $\Rightarrow \widehat{BAC}\approx 35°2\text{'}$.

Bài tập