Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hoạt động khởi động: Sự phân hủy của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hòa tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t ≥ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên).

$y=y\left(t\right)=5-\frac{15t}{9t^2+1}.$

Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?

Trả lời:

Tập xác định: D = ℝ.

Có $y^{\prime }=-\frac{15\left(9t^2+1\right)-270t^2}{{\left(9t^2+1\right)}^2}=-\frac{-135t^2+15}{{\left(9t^2+1\right)}^2}=\frac{135t^2-15}{{\left(9t^2+1\right)}^2}$

Có y' = 0 ⇔ 135t2 – 15 = 0 ⇔ $t=\frac{1}{3}$(vì t ≥ 0).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là t = 0 và thấp nhất t = $\frac{1}{3}$

1. Định nghĩa

Khám phá 1: Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.

a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?

i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 28°C.

ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 40°C.

iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 34°C.

b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?

Trả lời:

a) Nhìn vào đồ thị, ta nhận thấy khẳng định iii) đúng vì điểm cao nhất của đồ thị là 34°C.

b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày là 16 giờ (34°C)

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 20°C.

Thực hành 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x + 1 trên đoạn [0; 3];

b) $g\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; 5);

c) $h\left(x\right)=x\sqrt{2-x^2}$

Trả lời:

a) Có f'(x) = 6x2 – 18x + 12; f'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\underset{\left[0;3\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(3\right)=10;\underset{\left[0;3\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(0\right)=1$

b) Có $g^{\prime }\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2};g^{\prime }\left(x\right)=0\iff 1-\frac{1}{x^2}=0\iff x=1$(vì x ∈(0; 5)).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\underset{\left(0;5\right)}{\min }g\left(x\right)=g\left(1\right)=2$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Tập xác định: $D=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

Có $h^{\prime }\left(x\right)=\sqrt{2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}$;

Có $h^{\prime }\left(x\right)=0\iff =\sqrt{2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}=0\iff$ x = 1 hoặc x = −1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\underset{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\max }h\left(x\right)=h\left(1\right)=1;\underset{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\min }h\left(x\right)=h\left(-1\right)=-1$

Vận dụng: Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong mục khởi động (trang 14).

Trả lời:

Tập xác định: D = ℝ.

Có $y^{\prime }=-\frac{15\left(9t^2+1\right)-270t^2}{{\left(9t^2+1\right)}^2}=-\frac{-135t^2+15}{{\left(9t^2+1\right)}^2}=\frac{135t^2-15}{{\left(9t^2+1\right)}^2}$

Có y' = 0 ⇔ 135t2 – 15 = 0 ⇔ $t=\frac{1}{3}$(vì t ≥ 0).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là t = 0 và thấp nhất t = $\frac{1}{3}$

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Khám phá 2: Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số:

$y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2;y=g\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}{x}^{2}x\le 2\\ -4x+10x\ge 2\end{array}$ và $y=h\left(x\right)=3-\frac{1}{2}{x}^2$

trên đoạn [−1; 3].

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Trả lời:

a) Trên đoạn  hàm số  đạt giá trị cực đại tại  và ; đồng thời đạt giá trị lớn nhất tại  và 

b) Trên đoạn 

Hàm số  đạt giá trị lớn nhất tại  và 

Hàm số  đạt giá trị lớn nhất tại  và 

Thực hành 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=x+\frac{4}{x^2}$ trên đoạn [1; 4].

Trả lời:

Tập xác định:  

Ta có:  

 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy trên đoạn : ; 

Thực hành 3: Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Gọi một cạnh góc vuông của tam giác vuông là x (cm), (0 < x < 5).

Vì tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm nên cạnh còn lại của tam giác vuông là $\sqrt{25-x^2}$(cm).

Diện tích tam giác vuông là $S\left(x\right)=\frac{1}{2}x\sqrt{25-x^2}$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x).

Có $S^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}\right)$;

S'(x) = 0 ⇔ $\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}=0$ $\iff 25-2x^2=0\iff x=\frac{5}{\sqrt{2}}$ (vì 0 < x < 5).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có diện tích lớn nhất của tam giác vuông là $\frac{25}{4}$.

Bài tập

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5.

Trả lời:

a) Quan sát đồ thị, ta nhận thấy trên đoạn :

b) Quan sát đồ thị, ta nhận thấy trên đoạn :

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x3 – 12x + 1 trên đoạn [−1; 3];

b) y = −x3 + 24x2 – 180x + 400 trên đoạn [3; 11];

c) $y=\frac{2x+1}{x-2}$ trên đoạn [3; 7];

d) y = sin2x trên đoạn $\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]$.

Trả lời:

a) Có y' = 3x2 – 12; y' = 0 Û x = 2 hoặc x = −2 (loại vì x ∈ [−1; 3]).

Có y(−1) = 12; y(2) = −15; y(3) = −8.

Vậy $\underset{\left[-1;3\right]}{\min }y=y\left(2\right)=-15;\underset{\left[-1;3\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=12.$

b) Có y' = −3x2 + 48x – 180; y' = 0 Û x = 6 hoặc x = 10.

Có y(3) = 49; y(6) = −32; y(10) = 0; y(11) = −7.

Vậy $\underset{\left[3;11\right]}{\min }y=y\left(6\right)=-32;\underset{\left[3;11\right]}{\max }y=y\left(3\right)=49.$

c) Có $y^{\prime }=\frac{2\left(x-2\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=-\frac{5}{{\left(x-2\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\in \left[3;7\right]$.

Có $y\left(3\right)=7;$y(7) = 3.

Vậy $\underset{\left[3;7\right]}{\min }y=y\left(7\right)=3;\underset{\left[3;7\right]}{\max }y=y\left(3\right)=7.$

d) Có y' = 2cos2x; y' = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}$ vì x ∈ $\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]$.

Có y(0) = 0; $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0;y\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2}$

Vậy $\underset{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}{\min }y=y\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2};\underset{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}{\max }y=y\left(0\right)=y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x3 – 3x – 4 trên nửa khoảng [−3; 2);

b) $y=\frac{3x^2-4x}{x^2-1}$ trên khoảng (−1; +∞).

Trả lời:

a) Ta có: 

 hoặc  (thoả mãn)

Bảng biến thiên trên nửa khoảng :

Từ bảng biến thiên, ta thấy trên nửa khoảng : 

b) Tập xác định: 

Ta có: y’ = 

Vì  

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 

Bài tập 4: Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa số có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4 m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Trả lời:

Nửa chu vi khung cửa số là 4 : 2 = 2 (m).

Gọi chiều dài khung cửa sổ là x (m) (0 < x < 2).

Chiều rộng khung cửa sổ là 2 – x (m).

Diện tích khung cửa số là S(x) = x(2 – x) = 2x – x2 (m2).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x).

Ta có S'(x) = 2 – 2x; S'(x) = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên

Diện tích của cửa sổ lớn nhất là 1 m2 khi đó khung cửa số có dạng hình vuông cạnh 1m.

Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\sqrt{1-x^2}+x^2$.

Trả lời:

Tập xác định: D = [−1;1].

Có $y^{\prime }=-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}+2x$;

$y^{\prime }=0\iff -\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}+2x=0$

$\iff 2x\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ 1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0\end{array}$

Có $y\left(-1\right)=1$; y(0) = 2; y(1) = 1.

Vậy $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }y=y\left(0\right)=2;\underset{\left[-1;1\right]}{\min }y=y(-1)=y\left(1\right)=1.$

Bài tập 6: Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức $p=15-\frac{1}{2}q$. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R = pq.

a) Viết công thức biểu diễn R theo p.

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Trả lời:

a) Ta có: 

Suy ra: 

b) Tập xác định: 

Ta có:   

Bảng biến thiên: 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy trên khoảng :  

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.

Bài tập 7: Hộp sữa 1 l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Trả lời:

Gọi chiều cao của hộp sữa là h (cm), h > 0.

Theo đề ta có V = 1 lít = 1000 cm3 = x2.h $\iff h=\frac{1000}{x^2}$.

Diện tích toàn phần của hộp sữa là S(x) = 2x2 + 4xh = $2x^2+\frac{4000}{x}$.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S(x) khi x > 0.

Có S'(x) = $4x-\frac{4000}{x^2}$; S'(x) = 0 ⇔ x = 10.

Bảng biến thiên

Vậy diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất khi x = 10 cm.