Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Hoạt động khởi động:

Có thể tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở biểu đồ trên không?

Trả lời:

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

= $\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx 4,26$ .

Khám phá:

a) Trong biểu đồ ở Hoạt động khởi động, cột thứ nhất biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 160 cm đến dưới 164 cm; cột thứ hai biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 164 cm đến dưới 168 cm, ...

Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu ở Hoạt động khởi động, xác định giá trị đại điện của mỗi nhóm và tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Xét mẫu số liệu mới gồm các giá trị đại diện của các nhóm, tần số của mỗi giá trị đại diện bằng tần số của nhóm tương ứng. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới.

Trả lời:

Cỡ mẫu: n =21

Giá trị trung bình của mẫu số liệu mới là:

Phương sai của mẫu số liệu mới là: 

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới là:  

Thực hành 1: Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở Hoạt động khởi động (trang 75).

Trả lời:

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

= $\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx 4,26$ .

Thực hành 2: Mai và Ngọc cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân hai bạn đi mỗi ngày trong một tháng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:

a) Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn nào có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn?

Trả lời:

Cỡ mẫu: n = 30

Xét mẫu số liệu của Mai:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

Phương sai của mẫu số liệu là: 

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: 

Xét mẫu số liệu của Ngọc:

Số trung bình của mẫu số liệu là:

Phương sai của mẫu số liệu là: 

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: 

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn.

Bài tập

Bài tập 1: Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Trả lời:

Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=20,015$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^2=\frac{1}{100}$[13 ∙ (19,25)2 + 45 ∙ (19,75)2 + 24 ∙ (20,25)2

+ 12 ∙ (20,75)2 + 6 ∙ (21,25)2] – (20,015)2 ≈ 0,277.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{0,277}\approx 0,526$.

Bài tập 2: Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên.

a) Hãy cho biết có bao nhiêu máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ?

b) Hãy xác định số trung bình và độ lệch chuẩn của thời gian sử dụng pin.

Trả lời:

a) Có hai máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ.

b) Ta có:

Cỡ mẫu: n = 100

Số trung bình của thời gian sử dụng pin là:

Phương sai của thời gian sử dụng pin là: 

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

Bài tập 3: Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:

a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4.

c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Trả lời:

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

42 43,4 43,4 46,5 46,7 46,8 47,5 47,7 48,1 48,4

Do đó, $Q_1=\frac{46,7+46,8}{2}=46,75$ .

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

50,8 52,1 52,7 53,9 54,8 55,6 57,5 59,6 60,3 61,1

Do đó, $Q_3=\frac{54,8+55,6}{2}=55,2$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q = Q3 – Q1 = 55,2 – 46,75 = 8,45.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{42+43,4+43,4+46,5+\mathrm{...}+60,3+61,1}{20}=50,945$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

S2 = $\frac{1}{20}$ [422 + (43,4)2 + (43,4)2 + … + (60,3)2 + (61,1)2] – (50,945)2 ≈ 32,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

$S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{32,2}\approx 5,675$.

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R' =62 – 42 = 20 (km/h).

Gọi x1; x2; …; x20 là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; x2; x3 ∈ [42; 46), x4; …; x10 ∈ [46; 50), x11; …; x14 ∈ [50; 54),

   x15; …; x17 ∈ [54; 58), x18; x19; x20 ∈ [58; 62).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)$ ∈ [46; 50).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\prime }}_1=46+\frac{\frac{20}{4}-3}{7}\cdot \left(50-46\right)=\frac{330}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)$ ∈ [54; 58).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q^{\prime }}_3=54+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(3+7+4\right)}{3}\cdot \left(58-54\right)=\frac{166}{3}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'Q = Q'3 – Q'1 = $\frac{166}{3}-\frac{330}{7}=\frac{172}{21}$ ≈ 8,19.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}^{\prime }=\frac{3\cdot 44+7\cdot 48+4\cdot 52+3\cdot 56+3\cdot 60}{20}=51,2$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S'2 = $\frac{1}{20}$ (3 ∙ 442 + 7 ∙ 482 + 4 ∙ 522 + 3 ∙ 562 + 3 ∙ 602) – (51,2)2 = 26,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{\prime }=\sqrt{{S^{\prime }}^2}=\sqrt{26,56}=\frac{2\sqrt{166}}{5}\approx 5,154$.

Bài tập 4: Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B. Người ta thống kê đường kính thân của một số cây xoan đào 5 năm tuổi ở bảng sau:

a) Hãy so sánh đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A và địa điểm B.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm nào có đường kính đồng đều hơn?

Trả lời:

a) 

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào tại địa điểm A là:

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào tại địa điểm B là:

Vậy đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B lớn hơn địa điểm A.

b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu tại địa điểm A là:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu tại địa điểm B là:

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn.