Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương III

Bài tập 1: Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 1,5.

B. 0,9.

C. 0,6.

D. 0,3.

Đáp án: A

Giải thích: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là R = 4,2 – 2,7 = 1,5 (km).

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 0,9.

B. 0,975.

C. 0,5.

D. 0,575.

Đáp án: D

Giải thích:

Cỡ mẫu n = 20.

Gọi  là mẫu số liệu gốc gồm số km bác Hương đi bộ trong 20 ngày và được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên 

Ta có ; ; ; ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 3,39.

B. 11,62.

C. 0,1314.

D. 0,36.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=3,39$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2 = $\frac{1}{20}$ [3 ∙ (2,85)2 + 6 ∙ (3,15)2 + 5 ∙ (3,45)2 + 4 ∙ (3,75)2 + 2 ∙ (4,05)2] – (3,39)2

= 0,1314.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 3,41.

B. 11,62.

C. 0,017.

D. 0,36.

Đáp án: D

Giải thích:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{0,1314}\approx 0,36$.

Bài tập 2: Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 25.

B. 20.

C. 15.

D. 30.

Đáp án: A

Giải thích:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 45 – 20 = 25 (phút).

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 23,75.

B. 27,5.

C. 31,88.

D. 8,125.

Đáp án: D

Giải thích:

Cỡ mẫu n = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18.

Gọi x1; x2; …; x18 là mẫu số liệu gốc về thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn Chi được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; …; x6 ∈ [20; 25), x7; …; x12 ∈ [25; 30), x13; …; x16 ∈ [30; 35),

x17 ∈ [35; 40), x18 ∈ [40; 45).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x5 ∈ [20; 25).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 20 + $\frac{\frac{18}{4}}{6}$.(25-20) = 23,75.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x14 ∈ [30; 35).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 30 + $\frac{\frac{3\cdot 18}{4}-\left(6+6\right)}{4}$.(35-30) = 31,875.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆Q = Q3 – Q1 = 31,875 – 23,75 = 8,125.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 31,77.

B. 32.

C. 31.

D. 31,44.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{6\cdot 22,5+6\cdot 27,5+4\cdot 32,5+1\cdot 37,5+1\cdot 42,5}{18}=\frac{85}{3}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2 = $\frac{1}{18}$ [6 ∙ (22,5)2 + 6 ∙ (27,5)2 + 4 ∙ (32,5)2 + 1 ∙ (37,5)2 + 1 ∙ (42,5)2] – ${\left(\frac{85}{3}\right)}^2$

= 31,25.

Do đó, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị 31,44.

Bài tập 3: Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần tập luyện giải khối rubik 3 × 3, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm nhận giá trị nào trong các giá trị dưới đây?

A. 6.

B. 8.

C. 10.

D. 12.

Đáp án: C

Giải thích:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 18 – 8 = 10 (giây).

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 10,75.

B. 1,75.

C. 3,63.

D. 14,38.

Đáp án: C

Giải thích:

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi x1; x2; …; x25 là mẫu số liệu gốc về thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; …; x4 ∈ [8; 10), x5; …; x10 ∈ [10; 12), x11; …; x18 ∈ [12; 14),

   x19; …; x22 ∈ [14; 16), x23; …; x25 ∈ [16; 18).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x6 + x7) ∈ [10; 12).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 10 + $\frac{\frac{25}{4}-4}{6}$.(12-10) = 10,75.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x19 + x20) ∈ [14; 16).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 14 + $\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-\left(4+6+8\right)}{4}$.(16-14) = 14,375.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆Q = Q3 – Q1 = 14,375 – 10,75 = 3,625 ≈ 3,63.

c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 5,98.

B. 6.

C. 2,44.

D. 2,5.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{4\cdot 9+6\cdot 11+8\cdot 13+4\cdot 15+3\cdot 17}{25}=12,68$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2 = $\frac{1}{25}$ (4 ∙ 92 + 6 ∙ 112 + 8 ∙ 132 + 4 ∙ 152 + 3 ∙ 172) – (12,68)2 = 5,9776.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{5,9776}\approx 2,44$.

Bài tập 4: Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:

Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Trả lời:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:  (km)

Cỡ mẫu n = 30.

Gọi  là mẫu số liệu gốc gồm độ dài quãng đường bác tài xế đã lái xe mỗi ngày trong một tháng và được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ; ; ; ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:  

Số trung bình của mẫu số liệu là:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

Bài tập 5: Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

a) Có bao nhiêu thửa ruộng đã được khảo sát?

b) Lập bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm tương ứng của mẫu số liệu trên.

c) Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Trả lời:

a) Số thửa ruộng được khảo sát là: n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là:

R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha).

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi x1; x2; …; x25 là mẫu số liệu gốc về năng suất của một số thửa ruộng được khảo sát được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; x2; x3 ∈ [5,5; 5,7), x4; …; x7 ∈ [5,7; 5,9), x8; …; x13 ∈ [5,9; 6,1),

   x13; …; x18 ∈ [6,1; 6,3), x19; …; x23 ∈ [6,3; 6,5), x24; x25 ∈ [6,5; 6,7).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x6 + x7) ∈ [5,7; 5,9).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 5,7 + $\frac{\frac{25}{4}-3}{4}$.(5,9-5,7) = 5,8625.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}$ (x19 + x20) ∈ [6,3; 6,5).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 6,3 + $\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-\left(3+4+6+5\right)}{5}$.(6,5-6,3) = 6,33.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆Q = Q3 – Q1 = 6,33 – 5,8625 = 0,4675.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 5,6+4\cdot 5,8+6\cdot 6,0+5\cdot 6,2+5\cdot 6,4+2\cdot 6,6}{25}=6,088$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2 = $\frac{1}{25}$ [3 ∙ (5,6)2 + 4 ∙ (5,8)2 + 6 ∙ (6,0)2 + 5 ∙ (6,2)2 + 5 ∙ (6,4)2 + 2 ∙ (6,6)2] – (6,088)2

= 0,086656.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{0,086656}\approx 0,29$.

Bài tập 6: Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:

a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường nào viết nhanh hơn?

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

Trả lời: