Mở đầu: Khi xây tường gạch, người thợ thường bắt đầu với việc xây các viên gạch dẫn, sau đó căng dây nhợ dọc theo cạnh của các viên gạch dẫn đó để làm chuẩn rồi mới xây các viên gạch tiếp theo. Việc sử dụng dây căng như vậy có tác dụng gì? Toán học mô tả vị trí giữa dây căng, các mép gạch với mặt đất như thế nào?
Trả lời:
- Dây nhợ được cang dọc theo cạnh của các viên gạch dẫn, lúc này dây nhợ sẽ là một đường thẳng song song với mặt đất. Khi người thợ tiếp tục xây các viên gạch tiếp theo theo dây nhợ thì hàng gạch tiếp theo sẽ thẳng hàng và bằng, đảm bảo độ thẳng đứng và bằng phẳng cho tường được xây ra. Toán học mô tả vị trí giữa dây căng, các mép gạch với mặt đất là các đường thẳng song song với mặt phẳng.
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng
Hoạt động 1: Quan sát hình ảnh khung thành bóng đá và nhận xét vị trí của xà ngang, cột dọc, thanh chống và thanh bên của khung thành với mặt đất.
Trả lời:
Nhận xét:
- Xà ngang song song với mặt đất.
- Cột dọc vuông góc với mặt đất.
- Thanh chống nằm trên mặt đất.
- Thanh bên có một điểm chung với mặt đất.
Câu hỏi: Hãy chỉ ra một hình ảnh đường thẳng song song với mặt phẳng trong bức ảnh bên (H.4.34).
Trả lời:
- Quan sát hình ảnh đã cho ta thấy đường thẳng được tạo bởi thanh ngang của cây cầu song song với mặt nước lúc tĩnh lặng.
Luyện tập 1: Trong Ví dụ 1, đường thẳng AC cắt các mặt phẳng nào, nằm trong các mặt phẳng nào?
Trả lời:
Đường thẳng AC cắt các mặt phẳng (BCD) và (ABD).
Đường thẳng AC nằm trong các mặt phẳng (ABC) và (ACD).
2. Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng
Hoạt động 2: Cho đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng b nằm trong (P). Gọi (Q) là mặt phẳng chứa a và b (H.4.36).
Nếu a và (P) cắt nhau tại điểm M thì M có thuộc (Q) và M có thuộc b hay không? Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.
Trả lời:
a thuộc (Q) suy ra nếu a cắt (P) thì M thuộc giao tuyến của (Q) và (P) hay a thuộc b.
Tuy nhiên a // b suy ra không thể xảy ra trường hợp a cắt (P).
Kết luận: Nếu a không nằm trong (P) và song song với b thuộc (P) thì a song song với (P) hay a và (P) không có điểm chung.
Câu hỏi: Phát biểu trên còn đúng không nếu bỏ điều kiện “a không nằm trong mặt phẳng (P)”?
Trả lời:
- Phát biểu trên không còn đúng nếu bỏ điều kiện “a không nằm trong mặt phẳng (P)” vì nếu a nằm trong mặt phẳng (P) thì a không thể song song với (P). Hơn nữa, (P) và (Q) sẽ trùng nhau và do đó không thể coi b là giao tuyến của (P) và (Q).
Luyện tập 2: Trong Ví dụ 2, chứng minh rằng đường thẳng c song song với mp(a, b), đường thẳng b song song với mp(a, c).
Trả lời:
- Ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng nên đường thẳng c không nằm trong mp (a, b). Vì đường thẳng c song song song với đường thẳng b và đường thẳng b nằm trong mp (a, b) nên đường thẳng c song song với mp (a, b).
- Ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng nên đường thẳng a không nằm trong mp (a, c). Vì đường thẳng b song song song với đường thẳng c và đường thẳng c nằm trong mp (a, c) nên đường thẳng b song song với mp (a, c).
Luyện tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Hai đường thẳng SD và AB có chéo nhau hay không? Chỉ ra mặt phẳng chứa đường thẳng SD và song song với AB.
Trả lời:
Ta có: SD và AB chéo nhau.
Vì AB và SD chéo nhau nên AB không nằm trong mp(SCD).
Vì AB // CD nên AB // mp(SCD).
Vậy (SCD) là mặt phẳng chứa SD và song song với AB.
Vận dụng: Trong tình huống mở đầu, hãy giải thích tại sao dây nhợ khi căng thì song song với mặt đất. Tác dụng của việc đó là gì?
Lời giải:
Dây nhợ được căng theo hàng gạch đầu tiên, các hàng gạch được xây thẳng hàng và mỗi viên gạch đều có cách cạnh đối diện song song với nhau, do đó mép trên của hàng gạch đầu là một đường thẳng song song với mặt đất nên dây nhợ khi căng song song với mặt đất. Tác dụng của việc căng dậy nhợ để xây tường có độ thẳng, đứng và bằng.
Hoạt động 3: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và (Q) là một mặt phẳng chứa a. Giả sử (Q) cắt (P) theo giao tuyến b (H.4.36).
a) Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không?
b) Hai đường thẳng a và b có thể cắt nhau không?
Trả lời:
a) (Q) cắt (P) theo giao tuyến b suy ra b thuộc (Q).
Do đó a và b không thể chéo nhau.
b) Vì a // (P) và b thuộc (P) suy ra a và b không thể cắt nhau.
Luyện tập 4: Trong Ví dụ 4, gọi (Q) là mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, AD. Xác định giao tuyến của (Q) với các mặt của tứ diện.
Trả lời:
- Mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng AB song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (ABC) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến song song với AB. Vẽ EF // AB (F thuộc BC) thì EF là giao tuyến của (Q) và (ABC).
- Mặt phẳng (ACD) chứa đường thẳng AD song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (ACD) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến song song với AD. Vẽ EN // AD (N thuộc CD) thì EN là giao tuyến của (Q) và (ACD). Khi đó FN là giao tuyến của (Q) và (BCD).
Bài tập
Bài 4.16: Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu a và (P) có điểm chung thì a không song song với (P).
b) Nếu a và (P) có điểm chung thì a và (P) cắt nhau.
c) Nếu a song song với b và b nằm trong (P) thì a song song với (P).
d) Nếu a và b song song với (P) thì a song song với b.
Trả lời:
a) Đúng
b) Sai. a có thể thuộc mp(P) nếu có nhiều hơn 1 điểm chung
c) Sai. Vì a có thể thuộc (P). Để mệnh đề đúng phải thêm điều kiện a không thuộc (P)
d) Sai. Vì khi a và b có thể cắt nhau hoặc chéo nhau
Bài 4.17: Cho hai tam giác ABC và ABD không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AD.
a) Đường thẳng AM có song song với mặt phẳng (BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.
b) Đường thẳng MN có song song với mặt phẳng (BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.
Trả lời:
a) Vì M là trung điểm của cạnh AC nên đường thẳng AM chứa điểm C.
Lại có điểm C thuộc mặt phẳng (BCD) và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) (do bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng). Do đó, đường thẳng AM cắt mặt phẳng (BCD) tại điểm C. Vậy đường thẳng AM không song song với mặt phẳng (BCD).
b) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ACD, suy ra MN // CD.
Lại có đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng (BCD) và đường thẳng MN không nằm trong mặt phẳng (BCD).
Vậy đường thẳng MN song song với mặt phẳng (BCD).
Bài 4.18: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD. Chứng minh rằng đường thẳng BD song song với mặt phẳng (AMN).
Trả lời:
M, N là trung điểm của BC, CD, suy ra MN // BD
Ta có: BD không thuộc (AMN), MN thuộc (AMN), MN // BD suy ra BD // (AMN)
Bài 4.19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Gọi E là một điểm nằm giữa S và A. Gọi (P) là mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, AD. Xác định giao tuyến của (P) và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Trả lời:
+) Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (SAB) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến song song với AB. Vẽ EF // AB (F thuộc SB) thì EF là giao tuyến của (P) và (SAB).
+) Mặt phẳng (SAD) chứa đường thẳng AD song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (SAD) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến song song với AD. Vẽ EG // AD (G thuộc SD) thì EG là giao tuyến của (P) và (SAD).
+) Trong mặt phẳng (SCD), qua G vẽ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H.
Ta có: GH // CD và CD // AB nên GH // AB, do đó GH nằm trong mặt phẳng (P).
Vì G thuộc SD nên G thuộc mặt phẳng (SCD) và H thuộc SC nên H thuộc mặt phẳng (SCD), do đó GH nằm trong mặt phẳng (SCD).
Vậy GH là giao tuyến của (P) và (SCD).
+) Nối H với F, ta có H thuộc SC nên H thuộc mặt phẳng (SBC). Vì F thuộc SB nên F thuộc mặt phẳng (SBC). Do đó, HF nằm trong mặt phẳng (SBC).
Lại có H và F đều thuộc (P) nên HF nằm trong mặt phẳng (P).
Vậy HF là giao tuyến của (P) và (SBC).
+) Ta có: EF // AB và GH // AB nên EF // GH, do vậy tứ giác EFHG là hình thang.
Bài 4.20: Bạn Nam quan sát thấy dù cửa ra vào được mở ở vị trí nào thì mép trên của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy cho biết đó là mặt phẳng nào và giải thích tại sao.
Trả lời:
- Mép trên của cửa luôn song song với mép dưới của cửa. Bởi khi cửa được mở ra, dù được mở ở vị trí nào thì mép dưới của cửa cũng thuộc mặt sàn. Vì vậy mép trên của cửa luôn song song với mặt phẳng sàn cố định.