Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác

Mở đầu: Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f1(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f2(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f1(t) + f2(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết  hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

Trả lời:

Ta có: f(t) = f1(t) + f2(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)

Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán 11, ta chứng minh được

sin t + cos t = $\sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)$.

Do đó, $f\left(t\right)=5\sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)$.

Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm $k=5\sqrt{2}$ và pha ban đầu của sóng âm là $\phi =\frac{\pi }{4}$.

1. Công thức cộng

Hoạt động 1: Nhận biết công thức cộng

a) Cho a=π4 và b=π6, hãy chứng tỏ cos(a-b) = cosacosb + sinasinb

b) Bằng cách viết a + b = a - (-b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b)

c) Bằng cách viết sin(a−b)=cos[π2−(a−b)]=cos[(π2−a)+b] và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a - b)

Trả lời:

a) Ta có: a – b = π4−π6=π12 nên cos(a – b) =cosπ12=6√+2√4

cos a cos b + sin a sin b =cosπ4cosπ6+sinπ4sinπ6=2√2×3√2+2√2×12=6√4+2√4=6√+2√4

Vậy cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Ta có: cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a cos(– b) + sin a sin(– b)

Mà cos(– b) = cos b, sin(– b) = – sin b.

Do đó, cos(a + b) = cos a cos b + sin a  (– sin b) = cos a cos b – sin a sin b.

c) sin(a – b) = cos[π2−(a−b)]=cos[(π2−a)+b]

=cos(π2−a)cosb−sin(π2−a)sinb=sinacosb−cosasinb

(do cos(π2−a)=sina,sin(π2−a)=cosa.

Vậy sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Luyện tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin x – cos x = $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$;

b) $\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$$\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in Z\right)$.

Trả lời:

a) Ta có: $VP=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)$ 

$=\sqrt{2}\sin x.\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\cos x.\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin x-\cos x=VT$ (đpcm).

b) Ta có: $VT=\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi }{4}\tan x}=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=VP$$\left(do\tan \frac{\pi }{4}=1\right)$

Trả lời:

Ta có: cos2a=2cos2a−1 suy ra cosa=1+cos2a2−−−−−−√

Do đó: cosπ8=1+cosπ42−−−−−−√=1+2√22−−−−−√=2+2√√2

3. Công thức biến đổi thành tích tổng

Hoạt động 3: Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

a) Từ các công thức cộng cos(a+b) và cos(a-b), hãy tìm cosacosb; sinasinb

b) Từ các công thức cộng sin(a+b) và sin(a-b), hãy tìm: sinacosb

Trả lời:

a) Ta có: cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b  (1);

cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b   (2).

Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: cos(a + b) + cos(a – b) = 2cos a cos b.

Từ đó suy ra, cos a cos b = $\frac{1}{2}$[cos(a + b) + cos(a – b)].

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được: cos(a – b) – cos(a + b) = 2sin a sin b.

Từ đó suy ra, sin a sin b = $\frac{1}{2}$[cos(a – b) – cos(a + b)].

b) Ta có: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b  (3);

sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b   (4).

Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được: sin(a + b) + sin(a – b) = 2sin a cos b.

Từ đó suy ra, sin a cos b = $\frac{1}{2}$[sin(a + b) + sin(a – b)].

Luyện tập 3: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thúc:

A=cos75∘cos15∘

B=sin5π12cos7π12

Trả lời:

A=cos75∘cos15∘=12[cos(75∘−15∘)+cos(75∘+15∘)]

=12(cos60∘+cos90∘)=12(12+0)=14

B=sin5π12cos7π12=12[sin(5π12−7π12)+sin(5π12+7π12)]

=12[sin(−π6)+sinπ]=12(−12+0)=−14

4. Công thức biến đổi thành tích tổng

Hoạt động 4: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a – b, v = a + b và viết các công thức nhận được.

Trả lời:

Ta có: cos a cos b = $\frac{1}{2}$[cos(a – b) + cos(a + b)] (1);

sin a sin b = $\frac{1}{2}$[cos(a – b) – cos(a + b)]  (2);

sin a cos b = $\frac{1}{2}$[sin(a – b) + sin(a + b)] (3).

Đặt u = a – b, v = a + b.

Ta có: u + v = (a – b) + (a + b) = 2a và u – v = (a – b) – (a + b) = – 2b.

Suy ra, $a=\frac{u+v}{2},b=-\frac{u-v}{2}$.

Khi đó:

+) (1) trở thành $\cos \frac{u+v}{2}\cos \left(-\frac{u-v}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos u+\cos v\right)$

$\iff \cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$   (do $\cos \left(-\frac{u-v}{2}\right)=\cos \frac{u-v}{2}$).

+) (2) trở thành $\sin \frac{u+v}{2}\sin \left(-\frac{u-v}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos u-\cos v\right)$

$\iff \cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$ (do $\sin \left(-\frac{u-v}{2}\right)=-\sin \frac{u-v}{2}$).

+) (3) trở thành $\sin \frac{u+v}{2}\cos \left(-\frac{u-v}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\sin u+\sin v\right)$

$\iff \sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

Luyện tập 4: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:

B=cosπ9+cos5π9+cos11π9

Trả lời:

B=cosπ9+cos5π9+cos11π9

=2cos(π9+5π92)cos(π9−5π92)+cos11π9

=2cosπ3cos(−2π9)+cos11π9

=2×12cos(−2π9)+cos11π9

=cos(−2π9)+cos11π9

=2cos(−2π9+11π92)cos(−2π9−11π92)

=2cosπ2cos(−13π18)

=2×0×cos(−13π18)=0

Vận dụng 2: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f1 và tần số cao f2 liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm y = sin(2πf1t) + sin(2πf2t), ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Trả lời:

a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra có tần số thấp f1 = 770 Hz và tần số cao f2 = 1 209 Hz. 

Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là: 

y = sin(2π . 770t) + sin(2π . 1 209t) hay y = sin(1 540πt) + sin(2 418πt).

b) Ta có:

sin(1 540πt) + sin(2 418πt)

= $2\sin \frac{1540\pi t+2418\pi t}{2}\cos \frac{1540\pi t-2418\pi t}{2}$

= 2sin(1 979πt) cos(– 439πt)

= 2sin(1 979πt) cos(439πt).

Vậy ta có hàm số y = 2sin(1 979πt) cos(439πt).

Bài tập

Bài 1.7: Sử dụng 15° = 45° – 30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.

Trả lời:

Ta có:

+) sin 15° = sin(45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°

= $\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

+) cos 15° = cos(45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

= $\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

+) tan 15° = tan(45° – 30°) = $\frac{\tan 45°-\tan 30°}{1+\tan 45°.\tan 30°}$ = $\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1.\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$.

+) cot 15° = $\frac{1}{\tan 15°}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$.

Bài 1.8: Tính:

a) cos(a+π6), biết sina=13√ và π2<a<π

b) tan(a−π4), biết cosa=−13 và π<a<3π2

Trả lời:

a) Vì π2<a<π suy ra cosa < 0

Ta có: sin2a+cos2a=1⇒cosa=−1−sin2a−−−−−−−−√=−1−13−−−−−√=−6√3

cos(a+π6)=cosacosπ6−sinasinπ6

=−6√3×3√2−13√×12=−3√−32√6

b) Vì π<a<3π2 suy ra sina < 0

Ta có: sin2a+cos2a=1⇒sina=−1−cos2a−−−−−−−−√=−1−19−−−−−√=−22√3

⇒tana=sinacosa=22–√

tan(a−π4)=tana−tanπ41+tanatanπ4=−22√3−11+(−22√3)=−17+122–√

Bài 1.9: Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:

a) $\sin a=\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi$;

b) sin a + cos a = $\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\frac{3\pi }{4}$.

Trả lời:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra

cos a = $-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = $2.\frac{1}{3}.\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

$\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{7}{9}$.

$\tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{-\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}$.  

b) Ta có: (sin a + cos a)2 = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$$\iff {\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+2\sin a\cos a=\frac{1}{4}$

$\iff 1+\sin 2a=\frac{1}{4}\iff \sin 2a=-\frac{3}{4}$.

Vì $\frac{\pi }{2}<a<\frac{3\pi }{4}$ nên $\pi <2a<\frac{3\pi }{2}$, do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin2 (2a) + cos2 (2a) = 1

Suy ra $\cos 2a=-\sqrt{1-{\sin }^2\left(2a\right)}=-\sqrt{1-{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Do đó, $\tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

Bài 1.10: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A=sinπ15cosπ10+sinπ10cosπ15cos2π15cosπ5−sin2π15sinπ5

b) B=sinπ32cosπ32cosπ16cosπ8

Trả lời:

a) A=sinπ15cosπ10+sinπ10cosπ15cos2π15cosπ5−sin2π15sinπ5

=12(sin−π30+sinπ6)+12(sinπ30+sinπ6)12(cos−π15+cosπ3)−12(cos−π15−cosπ3)

=−sinπ30+sinπ30+2sinπ62cosπ3=sinπ6cosπ3=1

b) B=sinπ32cosπ32cosπ16cosπ8

=12sinπ16cosπ16cosπ8

=14sinπ8cosπ8=18sinπ4=2√8

Bài 1.11: Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a.

Trả lời:

Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = $\frac{1}{2}$[cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= $\frac{1}{2}$[cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$[(2cos2 b – 1) – (2cos2 a – 1)] = cos2 b – cos2 a.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos2 b – cos2 a (1).

Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin2 b) – (1 – 2sin2 a) = 2(sin2 a – sin2 b)

Do đó, $\frac{1}{2}$[cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$. 2(sin2 a – sin2 b) = sin2 a – sin2 b.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b (2).

Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a (đpcm).

Bài 1.12: Cho tam giác ABC có Bˆ=75∘;Cˆ=45∘ và a = BC = 12cm

a) Sử dụng công thức S=12absinC và định lí sin, hãy chứng minh diện tích tam giác ABC cho bởi công thức S=a2sinBsinC2sinA

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC

Trả lời:

a) Định lí sin: sinsinAa=sinBb=sinCc suy ra sinA=asinBb

a2sinBsinC2sinA=a2sinBsinC2asinBb=12a2bsinBsinCasinB=12absinC=S

b) S=a2sinBsinC2sinA=122×12(cos30∘−cos120∘)2sin(180∘−75∘−45∘)=36+123–√(cm2)

Bài 1.13: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

$x_1\left(t\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)$  (cm),

$x_2\left(t\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)$  (cm).

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Trả lời:

Dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t)

Suy ra x(t) = $2\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)+2\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)$ (cm).

Ta có: $2\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)+2\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)$

$=2\left[\cos \left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)\right]$

$=2.2\cos \frac{\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)+\left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)}{2}\cos \frac{\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)-\left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)}{2}$

= $4\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12}\right)\cos \frac{\pi }{4}$ = $4\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12}\right)$

Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là x(t) = $2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12}\right)$ với biên độ $A=2\sqrt{2}$ và pha ban đầu là $\phi =-\frac{\pi }{12}$.

$\left(\mathrm{ádãcxc}\right)$

$\left(\mathrm{<span\; style="font-size:\; 18px;">3. </span>}\right)$