Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số - Giải SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Mở đầu: Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân Pn (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức Pn = 500(1 + 0,02)n. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

Trả lời:

Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.

Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là

P10 = 500 . (1 + 0,02)10 ≈ 609 (nghìn người).

1. Định nghĩa dãy số

Hoạt động 1: Nhận biết dãy số hữu hạn

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Trả lời:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u1 = 02 = 0

Số chính phương thứ hai là u2 = 12 = 1

Số chính phương thứ ba là u3 = 22 = 4

Số chính phương thứ tư là u4 = 32 = 9

Số chính phương thứ năm là u5 = 42 = 16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là un = (n – 1)2 với n ∈ ℕ*.

Hoạt động 2: Nhận biết dãy số vô hạn

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng un của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

Trả lời:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Ta có: un = (n – 1)2 với n ∈ ℕ* và n ≤ 8.

Luyện tập 1:

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Trả lời:

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là un = 5n + 1 (n ∈ ℕ*).

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu của dãy là u1 = 6, số hạng cuối của dãy là u5 = 26.

2. Các cách cho một dãy số

Hoạt động 3: Nhận biết các cách cho một dãy số

Xét dãy số (un) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5; 10; 15; 20; 25; 30; ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát un của dãy số

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n - 1 của dãy số

Trả lời:

a) Số hạng tổng quát của dãy số là un = 5n (n ∈ ℕ*).

b) Số hạng đầu của dãy số là u1 = 5.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là un = un – 1 + 5 (n ∈ ℕ*, n > 1).

Luyện tập 2:

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát un = n!.

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fn) cho bởi hệ thức truy hồi

$\{\begin{cases} F_{1} = 1, F_{2} = 1 \\ F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2} (n \geq 3) \end{cases}$ .

Trả lời:

a) Năm số hạng đầu của dãy: 1, 2, 6, 24, 120

b) F1=1,F2=1,F3=1+1=2,F4=2+1=3,F5=3+2=5

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, và dãy số bị chặn

Hoạt động 4: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm

a) Xét dãy số (un) với un = 3n – 1. Tính un + 1 và so sánh với un.

b) Xét dãy số (vn) với $v_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ . Tính vn + 1 và so sánh với vn.

Trả lời:

a) Ta có: un + 1 = 3(n + 1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2

Xét hiệu un + 1 – un ta có: un + 1 – un = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0, tức là un + 1 > un ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy un + 1 > un ∀ n ∈ ℕ*.

b) Ta có: $v_{n + 1} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ .

Xét hiệu vn + 1 – vn ta có:

vn + 1 – vn = $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$ $= \frac{n^{2} - {(n + 1)}^{2}}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} = \frac{n^{2} - (n^{2} + 2 n + 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} = \frac{- (2 n + 1)}{n^{2} {(n + 1)}^{2}} < 0 \forall n \in ℕ^{*}$ .

Tức là vn + 1 < vn , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy vn + 1 < vn ∀ n ∈ ℕ*.

Luyện tập 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), với $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ .

Trả lời:

Ta có: $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{(n + 1) + 1} = \frac{1}{n + 2}$ .

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 1}$ $= \frac{(n + 1) - (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{- 1}{(n + 1) (n + 2)} < 0 \forall n \in ℕ^{*}$

Tức là un + 1 < un , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là dãy số giảm.

Hoạt động 5: Nhận biết dãy số bị chặn

Cho dãy số (un) với $u_{n} = \frac{n + 1}{n}, \forall n \in ℕ^{*}$ .

a) So sánh un và 1.

b) So sánh un và 2.

Trả lời:

a) Ta có: $u_{n} = \frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n} > 1, \forall n \in ℕ^{*}$ .

b) Ta có: $\frac{1}{n} \leq 1, \forall n \in ℕ^{*}$ , suy ra $1 + \frac{1}{n} \leq 1 + 1 = 2, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Do đó, $u_{n} = 1 + \frac{1}{n} \leq 2, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Luyện tập 4: Xét tính bị chặn của dãy số (un), với un = 2n – 1.

Trả lời:

Dãy số bị chặn dưới vì un=2n−1>−1,∀n∈N*

Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un=2n–1≤M với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng: Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi sn (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

s1 = 200, sn = sn – 1 + 25 với n ≥ 2.

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh (sn) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Trả lời:

a) Số hạng tổng quát của dãy số là: sn=200+25(n−1)=175+25n

Lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty: 175 +25 x 5 = 300 (triệu đồng)

b) Ta có: sn+1=175+25(n+1)=200+25n>sn với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*. suy ra (sn) là dãy số tăng

Ý nghĩa: Tiền lương của anh Thành sẽ được tăng dần hàng năm theo thời gian làm việc.

Bài tập

Bài 2.1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (Un) có số hạng tổng quát cho bởi

a) un=3n−2

b) un=3x2n

c) un=(1+1n)n

Trả lời:

a) u1=1,u2=4,u3=7,u4=10,u5=13,u100=298

b) u1=6,u2=12,u3=24,u4=48,u5=96,u100=3.803×1030

c) u1=2,u2=94,u3=6427,u4=625256,u5=2.48832,u100=2.7148

Bài 2.2: Dãy số (un) được cho bởi hệ thức truy hồi: u1 = 1, un = n . un – 1 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của un.

Trả lời:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

u1 = 1;

u2 = 2u1 = 2 . 1 = 2;

u3 = 3u2 = 3 . 2 = 6;

u4 = 4u3 = 4 . 6 = 24;

u5 = 5u4 = 5 . 24 = 120.

b) Nhận xét thấy u1 = 1 = 1!;

u2 = 2 . 1 = 2!;

u3 = 3u2 = 3 . 2 . 1 = 3!;

u4 = 4u3 = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!;

u5 = 5u4 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!;

...

Cứ tiếp tục làm như thế, ta dự đoán được công thức số hạng tổng quát của un là un = n!.

Bài 2.3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết:

a) un=2n−1

b) un=−3n+2

c) un=(−1)n−12n

Trả lời:

a)Ta có: un+1=2(n+1)–1=2n+2–1=2n+1

Xét hiệu un+1−un=(2n+1)–(2n–1)=2>0, tức là un+1>un , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là dãy số tăng.

b) Ta có: un+1=–3(n+1)+2=–3n–3+2=–3n–1

Xét hiệu un+1−un=(–3n–1)–(–3n+2)=–3<0, tức là un+1<un, ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là dãy số giảm.

c) un=(−1)n−12n

Nhận xét thấy:

u1=(−1)1−121=12>0

u2=(−1)2−122=−14<0

u3=(−1)3−123=18>0

u4=(−1)4−124=−116<0

...

Vậy dãy số (un) không tăng, cũng không giảm.
Bài 2.4: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) un = n – 1;

b) $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ ;

c) un = sin n;

d) un = (– 1)n – 1 n2.

Trả lời:

a) Ta có: un = n – 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.

Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b) Ta có: $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{n + 2 - 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2}$ , với mọi n ∈ ℕ*.

Vì $0 < \frac{1}{n + 2} \leq \frac{1}{3}$ , ∀ n ∈ ℕ* nên $- \frac{1}{3} \leq - \frac{1}{n + 2} < 0$ ∀ n ∈ ℕ*.

Suy ra $1 - \frac{1}{3} \leq 1 - \frac{1}{n + 2} < 1$ hay $\frac{2}{3} \leq u_{n} < 1$ ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

c) Ta có: – 1 ≤ sin n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, – 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

d) un = (– 1)n – 1 n2

Ta có: (– 1)n – 1 = 1 với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.

(– 1)n – 1 = – 1 với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.

n2 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, un = – n2 < 0, với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.

un = n2 > 0, với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.

Vậy dãy số (un) không bị chặn.

Bài 2.5: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3

b) Khi chia cho 4 dư 1

Trả lời:

a) un=3n(∀n∈N*)

b) un=4n+1(∀n∈N*)

Bài 2.6: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

$A_{n} = 100 {(1 + \frac{0, 06}{12})}^{n}$ .

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Trả lời:

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là

$A_{1} = 100 {(1 + \frac{0, 06}{12})}^{1} = 100, 5$ (triệu đồng).

Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là

$A_{2} = 100 {(1 + \frac{0, 06}{12})}^{2} = 101, 0025$ (triệu đồng).

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm (12 tháng) là

$A_{12} = 100 {(1 + \frac{0, 06}{12})}^{12} \approx 106, 17$ (triệu đồng).

Bài 2.7: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0.8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi An(n∈N) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng

a) Tìm lần lượt A0,A1,A2,A3,A4,A5,A6 để tính ra số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (An)

Trả lời:

a) Ta có: A0=100

A1=100+100×0.008−2=98.8

A2=98.8+98.8×0.008−2=97.59

A3=97.59+97.59×0.008−2=96.37

A4=96.37+96.37×0.008−2=95.14

A5=95.14+95.14×0.008−2=93.90

A6=93.90+93.90×0.008−2=92.65

Vậy sau 6 tháng số tiền chị Hương còn nợ là 92.65 triệu đồng

b) Hệ thức truy hồi: An=An−1+An−1×0.008−2=1.008An−1−2 (triệu đồng)