Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Mở đầu: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn v0 không đổi. Tìm góc bắn α để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.

Trả lời:

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ đặt tại vị trí khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo như hình dưới đây.

Khi đó theo Vật lí, ta biết rằng quỹ đạo của quả đạn pháo có dạng đường parabol có phương trình $y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$ (với g là gia tốc trọng trường).

Cho y = 0 ta được $\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha =0$, suy ra x = 0 hoặc $x=\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}$.

Quả đạn tiếp đất khi $x=\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}$.

Ta có $x=\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}\le \frac{v_0^2}{g}$ , dấu bằng xảy ra khi sin 2α = 1.

Giải phương trình sin 2α = 1, ta được α = $\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in Z$.

Do $0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ nên $\alpha =\frac{\pi }{4}$ hay α = 45°.

Vậy quả đạn pháo sẽ bay xa nhất khi góc bắn bằng 45°.

1. Khái niệm phương trình tương đương

Hoạt động 1: Nhận biết khái niệm hai phương trình tương đương

Cho hai phương trình 2x – 4 = 0 và (x – 2)(x2 + 1) = 0.

Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên.

Trả lời:

+) Ta có: 2x – 4 = 0, suy ra x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình 2x – 4 = 0 là S1 = {2}.

+) Ta có: (x – 2)(x2 + 1) = 0

Vì x2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ nên x2 + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, (x – 2)(x2 + 1) = 0 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình (x – 2)(x2 + 1) = 0 là S2 = {2}.

+) Nhận thấy S1 = S2 = {2}. Vậy hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm.

Luyện tập 1: Xét sự tương đương của hai phương trình sau:

$\frac{x-1}{x+1}=0$ và x2 – 1 = 0.

Trả lời:

+) Ta có: $\frac{x-1}{x+1}=0$, điều kiện x ≠ – 1.

Khi đó, $\frac{x-1}{x+1}=0$ khi x – 1 = 0 hay x = 1 (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình $\frac{x-1}{x+1}=0$ là S1 = {1}.

+) Phương trình x2 – 1 = 0 được viết lại thành (x – 1)(x + 1) = 0, từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = – 1, do đó tập nghiệm của phương trình x2 – 1 = 0 là S2 = {– 1; 1}.

+) Nhận thấy S1 ≠ S2, vậy hai phương trình đã cho không tương đương.

2. Phương trình sinx = m

Hoạt động 2: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình sin x = $\frac{1}{2}$

a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [0; 2π).

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc $\frac{\pi }{6}$ và $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$, lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng $\frac{1}{2}$ nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ và $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$.

Vậy trong nửa khoảng [0; 2π), phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ có hai nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}$, $x=\frac{5\pi }{6}$.

b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in Z$ và $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in Z$.

Luyện tập 2: Giải các phương trình sau:

a) sinx=2√2

b) sin 3x = – sin 5x.

Trả lời:

a) sinx=2√2⇔sinx=sinπ4

⇔x=π4+k2π hoặc x=π−π4+k2π(k∈Z)

⇔x=π4+k2πhoặc x=3π4+k2π(k∈Z) 

Vậy phương trình sinx=2√2 có các nghiệm là x=π4+k2π,k∈Z và x=3π4+k2π,k∈Z

b) sin 3x = – sin 5x

⇔ sin 3x = sin (– 5x)

⇔ 3x=−5x+k2π hoặc 3x=π−(−5x)+k2π(k∈Z)

⇔ 3x=−5x+k2π hoặc 3x=π+5x+k2π(k∈Z)

⇔ 8x=k2π hoặc −2x=π+k2π(k∈Z)

⇔ x=kπ4 hoặc x=−π2+kπ(k∈Z)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=k\frac{\pi }{4},k\in Z$ và $x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z$.

3. Phương trình Cosx = m

Hoạt động 3: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cos x = 

$-\frac{1}{2}$

a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [– π; π).

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côsin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

a) Từ Hình 1.22a, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc $\frac{2\pi }{3}$ và $-\frac{2\pi }{3}$, lại có hoành độ của điểm M và M' đều bằng $-\frac{1}{2}$ nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ và $\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$.

Vậy trong nửa khoảng [– π; π), phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$ có hai nghiệm là $x=\frac{2\pi }{3}$, $x=-\frac{2\pi }{3}$.

b) Vì hàm số cos có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in Z$ và $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in Z$.

Luyện tập 3: Giải các phương trình sau:

a) 2cosx=−2–√

b) cos3x - sin5x = 0

Trả lời:

a) 2cosx=−2–√⇔cosx=−2√2⇔cosx=cos3π4

⇔x=3π4+k2π hoặc x=−3π4+k2π(k∈Z)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=3π4+k2π(k∈Z) và x=−3π4+k2π(k∈Z)

b) cos3x−sin5x=0⇔cos3x=sin5x

⇔cos3x=π2−5x+k2π hoặc 3x=−(π2−5x)+k2π(k∈Z)

⇔8x=π2+k2π hoặc 2x=π2+k2π(k∈Z)

⇔x=π16+kπ4 hoặc x=π4+kπ(k∈Z)

Vậy phương trình có nghiệm là x=π16+kπ4(k∈Z) và  x=π4+kπ(k∈Z)

Vận dụng: Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là α (0° ≤ α ≤ 360°) thì tỉ lệ F của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức

$F=\frac{1}{2}\left(1-\cos \alpha \right)$.

(Theo trang usno.navy.mil).

Xác định góc α tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng:

a) F = 0 (trăng mới);

b) F = 0,25 (trăng lưỡi liềm);

c) F = 0,5 (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng);

d) F = 1 (trăng tròn).

Trả lời:

a) Với F = 0, ta có $\frac{1}{2}$(1 - cosα) ⇔ cos α = 1 ⇔ α = 0° hoặc α = 360° (do 0° ≤ α ≤ 360°).

Vậy α ∈ {0°; 360°}.

b) Với F = 0,25, ta có 12(1−cosα)=0,25 ⇔cosα=12

⇔cosα=cosπ3⇔α=π3+k2π hoặc α=−π3+k2π(k∈Z)

c) Với F = 0,5, ta có $\frac{1}{2}$(1 - cosα) ⇔ cos α = 0 ⇔ α = 90° + k180°, k ∈ ℤ.

Mà 0° ≤ α ≤ 360° nên α ∈ {90°; 270°}.

d) Với F = 1, ta có $\frac{1}{2}$(1 - cosα) ⇔ cos α = – 1 ⇔ α = 180° + k360°, k ∈ ℤ.

Mà 0° ≤ α ≤ 360° nên α = 180°.

4. Phương trình tanx = m

Hoạt động 4: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình tan x = 1

a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại mấy điểm trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$?

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

a) Quan sát Hình 1.24, ta thấy trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ , đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại 1 điểm, điểm này có hoành độ $x=\frac{\pi }{4}$ .

b) Từ câu a, ta suy ra phương trình tan x = 1 có nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}$ trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ .

Do hàm số tang có chu kì là π, nên công thức nghiệm của phương trình tan x = 1 là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in Z$ .

Luyện tập 4: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3}\tan 2x=-1$ ;

b) tan 3x + tan 5x = 0.

Trả lời:

a) 3–√tan2x=−1⇔tan2x=−13√⇔tan2x=tan(−π6)

⇔2x=−π6+kπ,k∈Z⇔x=−π12+kπ2,k∈Z

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=−π12+kπ2,k∈Z

b) tan 3x + tan 5x = 0

⇔ tan 3x = – tan 5x

⇔ tan 3x = tan (– 5x)

⇔ 3x = – 5x + kπ, k ∈ ℤ

⇔ 8x = kπ, k ∈ ℤ

⇔x=kπ8,k∈Z

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=kπ8,k∈Z

5. Phương trình cotx = m

Hoạt động 5: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cot x = – 1

a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng y = – 1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại mấy điểm trên khoảng (0; π)?

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm côtang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

a) Quan sát Hình 1.25, ta thấy trên khoảng (0; π), đường thẳng y = – 1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại 1 điểm, điểm này có hoành độ $x=-\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{3\pi }{4}$.

b) Từ câu a, ta suy ra phương trình cot x = – 1 có nghiệm là $x=\frac{3\pi }{4}$ trên khoảng (0; π).

Do hàm số côtang có chu kì là π, nên công thức nghiệm của phương trình cot x = – 1 là $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in Z$.

Luyện tập 5: Giải các phương trình sau:

a) cot x = 1;

b) $\sqrt{3}\cot x+1=0$.

Trả lời:

a) cotx=1cotx=1⇔cotx=cotπ4⇔x=π4+kπ,k∈Z

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=π4+kπ,k∈Z

b) $\sqrt{3}\cot x+1=0$

$\iff \cot x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff \cot x=\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

$\iff x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in Z$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in Z$.

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Luyện tập 6: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và rađian của góc α, biết:

a) cos α = – 0,75;

b) tan α = 2,46;

c) cot α = – 6,18.

Trả lời:

a) cos α = – 0,75

+ Để tìm số đo độ của góc α, ta bấm phím như sau:

$SHIFTMODE3SHIFT\cos -0.75=°"\text{'}$

Màn hình hiện kết quả là: 138°35'25,36''.

Vậy α ≈ 138°35'26".

+ Để tìm số đo rađian của góc α, ta bấm phím như sau:

$SHIFTMODE4SHIFT\cos -0.75=$

Màn hình hiện kết quả là: 2,418858406.

Vậy α ≈ 2,41886 rad.

b) tan α = 2,46

+ Để tìm số đo độ của góc α, ta bấm phím như sau:

$SHIFTMODE3SHIFT\tan 2.46=°"\text{'}$

Màn hình hiện kết quả là: 67°52'41,01".

Vậy α ≈ 67°52'41".

+ Để tìm số đo rađian của góc α, ta bấm phím như sau:

$SHIFTMODE4SHIFT\tan 2.46=$

Màn hình hiện kết quả là: 1,184695602.

Vậy α ≈ 1,1847 rad.

c) cot α = – 6,18

+ Để tìm số đo độ của góc α, ta bấm phím như sau:

Màn hình hiện kết quả là: – 9°11'29,38".

Vậy α ≈ – 9°11'30".

+ Để tìm số đo rađian của góc α, ta bấm phím như sau:

$SHIFTMODE3SHIFT\tan 1÷-6.18=°"\text{'}$

Màn hình hiện kết quả là: – 0,1604218219.

Vậy α ≈ – 0,16042 rad.

Bài tập

Bài 1.19: Giải các phương trình sau:

a) $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) $2\cos x=-\sqrt{2}$ ;

c) $\sqrt{3}\tan \left(\frac{x}{2}+15°\right)=1$ ;

d) $\cot \left(2x-1\right)=\cot \frac{\pi }{5}$ .

Trả lời:

a) sinx=3√2⇔sinx=sinπ3

⇔x=π3+k2π hoặc x=π−π3+k2π(k∈Z)

⇔x=π3+k2π hoặc x=2π3+k2π(k∈Z)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=π3+k2π(k∈Z) và x=2π3+k2π(k∈Z)

b) 2cosx=−2–√⇔cosx=−2√2⇔cosx=cos3π4

⇔x=3π4+k2π hoặc x=−3π4+k2π(k∈Z)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=3π4+k2π(k∈Z) và x=−3π4+k2π(k∈Z)

c) 3–√tan(x2+15∘)=1⇔tan(x2+15∘)=13√⇔tan(x2+15∘)=tan30∘

⇔x2+15∘=30∘+k180∘,k∈Z⇔x=30∘+k360∘,k∈Z

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=30∘+k360∘,k∈Z

d) cot(2x−1)=cotπ5⇔2x−1=π5+kπ,k∈Z

⇔x=π10+12+kπ2,k∈Z

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$ .

Bài 1.20: Giải các phương trình sau:

a) sin 2x + cos 4x = 0;

b) cos 3x = – cos 7x.

Trả lời:

a) sin 2x + cos 4x = 0

⇔ cos 4x = – sin 2x

⇔ cos 4x = sin(– 2x)

⇔ cos 4x = cos$\left(\frac{\pi }{2}-\left(-2x\right)\right)$

⇔ cos 4x = cos$\left(\frac{\pi }{2}+2x\right)$

$\iff \left[\begin{array}{c}4x=\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi \\ 4x=-\left(\frac{\pi }{2}+2x\right)+k2\pi \end{array}\right(k\in Z)$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\end{array}\right(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in Z$ và $x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3},k\in Z$ .

b) cos3x = −cos7x

⇔ cos3x = cos(π + 7x)

⇔ $\left[\begin{array}{c}3x=\pi +7x+k2\pi \\ 3x=-(\pi +7x)+k2\pi \end{array}\right(k\in Z)$.

⇔ $\left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}-k\frac{\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}\end{array}\right(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:

x = $-\frac{\pi }{4}-k\frac{\pi }{2}$ (k ∈ ℤ) và x = $-\frac{\pi }{10}-k\frac{\pi }{5}$ (k ∈ ℤ).         

Bài 1.21: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình y=−g2v20cos2α+xtanα, ở đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Trả lời:

Vì v0 = 500 m/s, g = 9,8 m/s2 nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là 

$y=\frac{-\mathrm{9,8}}{{2.500}^2.{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$ hay $y=\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$ .

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó $\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha =0$

$\iff x\left(\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }x+\tan \alpha \right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\frac{2500000{\cos }^2\alpha .\tan \alpha }{49}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\frac{2500000\cos \alpha .\sin \alpha }{49}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}\end{array}$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}$ (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó $\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}$ = 22000 ⇔ sin 2α = $\frac{539}{625}$

⇔ $[\begin{array}{c}\alpha \approx 29°{47}^{\prime }3{6^{\prime }}^{\prime }\\ \alpha \approx 60°{12}^{\prime }2{3^{\prime }}^{\prime }\end{array}$

Bài 1.22: Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

$x=2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)$.

Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Trả lời:

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có

2cos(5t−π6)=0⇔cos(5t−π6)=0

⇔5t−π6=π2+k,k∈Z⇔t=2π15+kπ5,k∈Z

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là 0 ≤ t ≤ 6 hay 0≤2π15+kπ5≤6⇔−23≤k≤90−2π3π

Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.