Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1: Nguyên hàm

Hoạt động khởi động: Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi a = 10 m/s2. Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int 10dt=10t+C$.

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s).

Vì v(t) = s'(t) với mọi t ≥ 0 nên $s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int 10tdt=5t^2+C$.

Ta có s(0) = 0 nên C = 0. Vậy s(t) = 5t2 (m).

Vật rơi từ độ cao 20 m nên s(t) ≤ 20, suy ra 0 ≤ t ≤ 2.

Vậy sau khi vật rơi được t giây (0 ≤ t ≤ 2) thì vật có tốc độ v(t) = 10t m/s và đi được quãng đường s(t) = 5t2 mét.

1. Khái niệm nguyên hàm

Hoạt động khám phá 1: Cho hàm số f(x) = 2x xác định trên ℝ. Tìm một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x).

Lời giải:

Hoạt động khám phá 2: Cho hàm số f(x) = 3x2 xác định trên ℝ.

a) Chứng minh rằng F(x) = x3 là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Với C là hằng số tùy ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên ℝ không?

c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) – F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) – F(x)?

Lời giải:

a)  với mọi  thuộc .

Vậy  là một nguyên hàm của hàm số  trên 

b) 

Khi đó  với mọi  thuộc .

Vậy  là một nguyên hàm của hàm số  trên 

c) Vì  là một nguyên hàm của  trên  nên 

Vậy đạo hàm của hàm số  bằng ; suy ra hàm số  là một hằng số.

Thực hành 1: Chứng minh rằng F(x) = e2x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e2x + 1 trên ℝ.

Lời giải:

Có F'(x) = (e2x + 1)' = e2x + 1.(2x + 1)' = 2e2x + 1 = f(x).

Vậy F(x) = e2x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e2x + 1 trên ℝ.

2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Hoạt động khám phá 3:

a) Giải thích tại sao $\int 0dx=C$ và $\int 1dx=x+C$.

b) Tìm đạo hàm của hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\left(\alpha \ne -1\right)$. Từ đó, tìm $\int x^{\alpha }dx$.

Lời giải:

Thực hành 2: Tìm:

a) $\int x^{4}dx$;                                 b) $\int \frac{1}{x^3}dx$;                                c) $\int \sqrt{x}dx\left(x>0\right)$.

Lời giải:

a) $\int x^{4}dx=\frac{x^5}{5}+C$

b) $\int \frac{1}{x^3}dx$$=\int x^{-3}dx=-\frac{1}{2}{x}^{-2}+C=\frac{-1}{2x^2}+C$

c) $\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx$$=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

Hoạt động khám phá 4: Cho hàm số F(x) = ln|x| với x ≠ 0.

a) Tìm đạo hàm của F(x).

b) Từ đó, tìm $\int \frac{1}{x}dx$.

Lời giải:

a) Với  thì  nên  

Với  thì  nên  

 với 

b) Vì  với mọi  thuộc  nên  là một nguyên hàm của  trên 

Hoạt động khám phá 5:

a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sinx, y = −cosx, y = tanx, y = −cotx.

b) Từ đó, tìm $\int \cos xdx,\int \sin xdx,\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$ và $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

Lời giải:

Thực hành 3: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cosx thỏa mãn $F\left(0\right)+F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$.

Lời giải:

Với  ta có: 

Với  ta có: 

Hoạt động khám phá 6:

a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = ex, $y=\frac{a^x}{\ln a}$ với a > 0, a ≠ 1.

b) Từ đó, tìm $\int e^{x}dx$ và $\int a^{x}dx$ (a > 0, a ≠ 1).

Lời giải:

a) Có (ex)' = ex, ${\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)}^{\prime }=\frac{a^x.\ln a}{\ln a}=a^x$, a > 0, a ≠ 1.

b) $\int e^{x}dx=e^x+C$.

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ , (a > 0, a ≠ 1).

Thực hành 4: Tìm:

a) $\int 3^{x}dx$

b) $\int e^{2x}dx$

Lời giải:

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Hoạt động khám phá 7: Ta có ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=x^2$ và (x3)' = 3x2.

a) Tìm $\int x^{2}dx$ và $3\int x^{2}dx$.

b) Tìm $\int 3x^{2}dx$.

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao $\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx$.

Lời giải:

a) $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C^{\prime }$; $3\int x^{2}dx=3\left(\frac{x^3}{3}+C^{\prime }\right)=x^3+3C^{\prime }=x^3+C$.

b) $\int 3x^{2}dx=x^3+C$.

c) $\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx=x^3+C$.

Thực hành 5: Tìm:

a) $\int \left(-\frac{\cos x}{4}\right)dx$.

b) $\int 2^{2x+1}dx$

Lời giải:

Hoạt động khám phá 8: Ta có ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=x^2$, (x2)' = 2x và ${\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)}^{\prime }=x^2+2x$.

a) Tìm $\int x^{2}dx,\int 2xdx$ và $\int x^{2}dx+\int 2xdx$.

b) Tìm $\int \left(x^2+2x\right)dx$.

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao $\int \left(x^2+2x\right)dx=\int x^{2}dx+\int 2xdx$.

Lời giải:

Thực hành 6: Tìm: