Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tích phân

Hoạt động khởi động: Một ô tô đang di chuyển với vận tốc 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức v(t) = 20 – 5t (0 ≤ t ≤ 4). Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Xe dừng khi v(t) = 20 – 5t = 0 ⇔ t = 4.

Quãng đường xe di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng là:

$s=\underset{0}{\overset{4}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(20-5t\right)dt={\left(20t-\frac{5t^2}{2}\right)|}_0^4=40$ (m).

1. Diện tích hình thang cong

Hoạt động khám phá 1: Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.

a) Tính S(3).

b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.

c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).

Lời giải:

a) Với  ta có: 

Phần  cần tính là diện tích hình thang có độ dài 2 đáy lần lượt là 2 và 4, chiều cao là 2.

.

b) Phần  cần tính là diện tích hình thang có độ dài 2 đáy lần lượt là 2 và , chiều cao là .

 với mỗi .

c) 

Vì  với mỗi  nên  là một nguyên hàm của  trên .

d) Vì  là một nguyên hàm của hàm số  nên: 

Với  

Với  

Để tính  khi biết một nguyên hàm của , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm  của 

Bước 2: Tính các giá trị  và  (do )

Bước 3: Giá trị  cần tính là: 

Thực hành 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = ex, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 (Hình 4).

Lời giải:

2. Khái niệm tích phân

Hoạt động khám phá 2: Cho hàm số f(x) = 2x – 1. Lấy hai nguyên hàm tùy ý F(x) và G(x) của f(x), rồi tính F(3) – F(0) và G(3) – G(0). Nhận xét về kết quả nhận được.

Lời giải:

Giả sử  và 

Với  ; 

Với  ; 

; 

Thực hành 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}2xdx$;                                 b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin tdt$;                      c) $\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}{e}^{u}du$.

Lời giải:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}2xdx={x^2|}_1^3=9-1=8$

b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin tdt={-\mathrm{cost}|}_0^{\pi }=1+1=2$

c) $\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}{e}^{u}du={e^u|}_0^{\ln 2}$$=e^{\ln 2}-e^0=2-1=1$.

Vận dụng 1: Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ $v\left(t\right)=2t-\mathrm{0,03}{t}^2\left(0\le t\le 10\right)$, trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát.

a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 10.

Lời giải:

3. Tính chất của tích phân

Hoạt động khám phá 3:

a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x5. Từ đó, tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}6x^{5}dx$.

b) Tính $J=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{5}dx$.

c) Có nhận xét gì về giá trị của I và 6J.

Lời giải:

a) 

Giả sử 

b) 

c) 

Thực hành 3: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{7}dx$;                               b) $\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\frac{-3}{10x}dx$;                    c) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{5^{x-1}}{2}dx$.

Lời giải:

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{7}dx=4\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{7}dx$$={\frac{x^8}{2}|}_{-1}^1={\frac{x^8}{2}|}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$;                              

b) $\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\frac{-3}{10x}dx=-\frac{3}{10}\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\frac{1}{x}dx$$={-\frac{3}{10}\ln \left|x\right||}_{-2}^{-1}=\frac{3}{10}\ln 2$;                   

c) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{5^{x-1}}{2}dx=\frac{1}{10}\underset{0}{\overset{2}{\int }}{5}^{x}dx$$={\frac{1}{10}.\frac{5^x}{\ln 5}|}_0^2=\frac{24}{10\ln 5}$.

Hoạt động khám phá 4:

a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x2 + ex. Từ đó, tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2+e^x\right)dx$.

b) Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$.

c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?

Lời giải:

Thực hành 4: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x-1}{x^2}dx$;

b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1+2{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx$;

c) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}{\left(x-2\right)}^{2}dx+\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(4x-x^2\right)dx$

Lời giải:

Vận dụng 2: Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi P(x) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P'(x), gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩn bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức P'(x) = 16 – 0,02x với 0 ≤ x ≤ 100. Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Lời giải:

Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán x sản phẩm trong tuần là:

$P\left(x\right)=\int \left(16-\mathrm{0,02}x\right)dx=16x-\mathrm{0,01}{x}^2+C$

Vì P(0) = −25 nên 16.0 – 0,01.02 + C = −25 Þ C = −25.

Do đó P(x) = −0,01x2 + 16x – 25.

Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần là:

P(90) = −0,01.902 + 16.90 – 25 = 1334 triệu đồng.

Hoạt động khám phá 5: Cho hàm số f(x) = 2x. Tính và so sánh kết quả: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Lời giải:

Thực hành 5: Tính:

a) $\underset{-1}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left(4x^3-5\right)dx-\underset{1}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left(4x^3-5\right)dx$;

b) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x-1\right|dx$;

c) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left|\cos x\right|dx$

Lời giải:

Vận dụng 3: Biết rằng tốc độ v (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian t (phút) như sau: $v\left(t\right)=\{\begin{array}{c}\mathrm{0,5}t,0\le t<\mathrm{2,}\\ \mathrm{1,}2\le t<\mathrm{15,}\\ 4-\mathrm{0,2}t,15\le t\le 20.\end{array}$

Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.

Lời giải:

Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là:

$s\left(t\right)=\underset{0}{\overset{20}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{0,5}tdt+\underset{2}{\overset{15}{\int }}dt+\underset{15}{\overset{20}{\int }}\left(4-\mathrm{0,2}t\right)dt$

$={\mathrm{0,25}{t}^2|}_0^2+{t|}_2^{15}+{\left(4t-\mathrm{0,1}{t}^2\right)|}_{15}^{20}$

= 1 + 15 – 2 + 40 – 37,5

= 16,5 km.

Bài tập

Bài tập 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (Hình 7);

b) Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (Hình 8).

Lời giải:

Bài tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx$;                        b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$; 

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$;                 d)$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx$

Lời giải:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx$$={\frac{x^5}{5}|}_1^2=\frac{32}{5}-\frac{1}{5}=\frac{31}{5}$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\frac{-1}{2}}dx={2\sqrt{x}|}_1^2=2\sqrt{2}-2$

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$$={\tan x|}_0^{\frac{\pi }{4}}=1$

d)$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx$$={\frac{3^x}{\ln 3}|}_0^2=\frac{9}{\ln 3}-\frac{1}{\ln 3}=\frac{8}{\ln 3}$

Bài tập 3: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{-2}{\overset{4}{\int }}\left(x+1\right)\left(x-1\right)dx$;                               

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x^2-2x+1}{x}dx$;   

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(3\sin x-2\right)dx$;         

d) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{{\sin }^{2}x}{1+\cos x}dx$

Lời giải:

Bài tập 4: Tính các tích phân sau: