Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân - Giải SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khởi động: Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là $V = \frac{4 π R^{3}}{3}$ . Làm thế nào để tìm ra công thức đó?

Lời giải:

1. Tính diện tích hình phẳng

Hoạt động khám phá 1: Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và trục tung, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).

a) Tính S1 và so sánh với $\int_{0}^{3} f (x) d x$ .

b) Tính S2 và so sánh với $\int_{3}^{5} f (x) d x$ .

c) So sánh $\int_{0}^{5} |f (x)| d x$ với S1 + S2.

Hoạt động khám phá 1 trang 21 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Diện tích cần tính là diện tích của tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông lần lượt là 6 và 3

b) Diện tích cần tính là diện tích của tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông lần lượt là 4 và 2

Thực hành 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Lời giải:

Ta có 2x – x2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Với x $\in$ [0; 2] thì 2x – x2 ≥ 0, với x $\in$ [2; 3] thì 2x – x2 ≤ 0.

Diện tích cần tính là:

$S = \int_{0}^{3} |2 x - x^{2}| d x = \int_{0}^{2} |2 x - x^{2}| d x + \int_{2}^{3} |2 x - x^{2}| d x$ $= \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) d x$

$= {(x^{2} - \frac{x^{3}}{3})|}_{0}^{2} + {(\frac{x^{3}}{3} - x^{2})|}_{2}^{3}$ $= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Thực hành 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π.

Lời giải:

Hoạt động khám phá 2: Cho hai hàm số y = 4x – x2 và y = x lần lượt có đồ thị (P) và d như Hình 4.

a) Tính diện tích S1 của hình phẳng giới hạn bởi (P), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

b) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P), d và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Hoạt động khám phá 2 trang 23 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng , là:

Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , và hai đường thẳng , là:

Thực hành 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x2 – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Lời giải:

Diện tích cần tính là:

$S = \int_{1}^{4} |x^{2} - 2 x - 1 - (x - 1)| d x$ $= \int_{1}^{4} |x^{2} - 3 x| d x$ .

Ta có x2 – 3x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Do đó S $= \int_{1}^{3} |x^{2} - 3 x| d x + \int_{3}^{4} |x^{2} - 3 x| d x$

$= \int_{1}^{3} (3 x - x^{2}) d x + \int_{3}^{4} (x^{2} - 3 x) d x$ $= {(\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3})|}_{1}^{3} + {(\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2})|}_{3}^{4}$ $= \frac{9}{2} - \frac{7}{6} - \frac{8}{3} + \frac{9}{2} = \frac{31}{6}$

Thực hành 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = 5x − x2, y = x2 – x và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Lời giải:

Vận dụng 1: Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7. Tính diện tích của cửa hầm.

Vận dụng 1 trang 24 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Xác định trục tọa độ như hình, với

Phương trình của đồ thị parabol có dạng:

Vì 3 điểm thuộc đồ thị hàm số nên ta có:

Như vậy, diện tích của cửa hầm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành, và bằng:

Vậy diện tích của cửa hầm là .

2. Tính thể tích hình khối

Hoạt động khám phá 3: Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA ⊥ (ABCD), OA = h. Đặt trục số Ox như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x ≤ h), cắt hình chóp O.ABCD theo mặt cắt là hình vuông A'B'C'D'. Kí hiệu S(x) là diện tích của hình vuông A'B'C'D'.

a) Tính S(x) theo a, h và x.

b) Tính $\int_{0}^{h} S (x) d x$ và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD.

Hoạt động khám phá 3 trang 24 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Ta có A'B'C'D' đồng dạng với ABCD theo tỉ số đồng dạng là $\frac{x}{h}$ .

Do đó $\frac{S (x)}{S_{A B C D}} = {(\frac{x}{h})}^{2} \Rightarrow S (x) = {(\frac{x}{h})}^{2} . a^{2}$ .

b) $\int_{0}^{h} S (x) d x = \int_{0}^{h} {(\frac{x}{h})}^{2} . a^{2} d x$ $= \frac{a^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} d x = {(\frac{a^{2}}{h^{2}} . \frac{x^{3}}{3})|}_{0}^{h}$ $= \frac{1}{3} a^{2} h$ .

Có $V_{O . A B C D} = \frac{1}{3} . O A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . h . a^{2}$ .

Vậy $V_{O . A B C D} = \int_{0}^{h} S (x) d x$

Thực hành 5: Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao x (dm) (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt nước là hình vuông có cạnh $\sqrt{2 + \frac{x^{2}}{4}}$ (dm). Tính dung tích của bình.

Thực hành 5 trang 25 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Hoạt động khám phá 4: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{1}{2} x$ , trục hoành và đường thẳng x = 4 (Hình 12a). Quay hình D xung quanh trục Ox thì được một khối nón, kí hiệu là N (Hình 12b).

a) Cắt khối N bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích S(x) của mặt cắt đó.

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón N.

Hoạt động khám phá 4 trang 25 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Khi cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng

Vậy diện tích của mặt cắt đó là:

Thực hành 6: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 1 + \frac{1}{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 15). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Thực hành 6 trang 26 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Thể tích cần tìm là:

$V = π \int_{1}^{2} {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$ $= π \int_{1}^{2} (1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}) d x$ $= π {(x + 2 \ln |x| - \frac{1}{x})|}_{1}^{2}$

$= π [2 + 2 \ln 2 - \frac{1}{2} - (1 + 2 \ln 1 - 1)]$ $= π (2 l n 2 + \frac{3}{2})$

Vận dụng 2: Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h (Hình 16).

Vận dụng 2 trang 27 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

$= π (2 l n 2 + \frac{3}{2})$

Lời giải:

Kẻ hệ trục toạ độ như hình dưới.

Đường thẳng đi qua 2 điểm và

Do đó đường thẳng có phương trình:

hay

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng . Khi quay hình quanh trục ta được một khối nón. Do đó thể tích của khối nón là:

Bài tập

Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số y = ex, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1.

b) Đồ thị của hàm số $y = x + \frac{1}{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Lời giải:

Bài tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3 – x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Lời giải:

Ta có x3 – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = −1.

Với x $\in$ [0; 1] thì x3 – x ≤ 0; x $\in$ [1; 2] thì x3 – x ≥ 0.

Diện tích cần tính là:

$S = \int_{0}^{2} |x^{3} - x| d x = \int_{0}^{1} |x^{3} - x| d x + \int_{1}^{2} |x^{3} - x| d x$ $= \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x + \int_{1}^{2} (x^{3} - x) d x$

$= {(\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4})|}_{0}^{1} + {(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2})|}_{1}^{2}$ $= \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{5}{2}$

Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ , y = – x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

Với thì

Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x3 + 1, y = 2 và hai đường thẳng x = −1, x = 2.

Lời giải:

Bài tập 5: Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−2 ≤ x ≤ 2), mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{4 - x^{2}}$ (dm) (Hình 17). Tính thể tích của vật thể.

Bài 5 trang 27 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° nên mặt cắt là tam giác vuông cân.

Do đó diện tích của mặt cắt là $S (x) = \frac{1}{2} {(\sqrt{4 - x^{2}})}^{2} = \frac{1}{2} (4 - x^{2}) = 2 - \frac{1}{2} x^{2}$

Thể tích vật thể là:

$V = \int_{- 2}^{2} (2 - \frac{1}{2} x^{2}) d x = {(2 x - \frac{x^{3}}{6})|}_{- 2}^{2}$ $= \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

Bài tập 6: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{4 - x}$ (x ≤ 4), trục tung và trục hoành (Hình 18). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Bài 6 trang 27 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

$= \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

Lời giải:

Bài tập 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2) và C(2; 0) (Hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục Ox.

Bài 7 trang 27 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Bài tập 8: Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h (Hình 20).

Bài 8 trang 27 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Bài 8 trang 27 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Chọn trục Ox trùng với đường cao của hình chóp đều như hình vẽ, sao cho mặt đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 0.

Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ h) cắt hình chóp đều theo mặt cắt là hình vuông đồng dạng với đáy của hình chóp theo tỉ số $\frac{x}{h}$ .

Do đó $\frac{S (x)}{a^{2}} = {(\frac{x}{h})}^{2}$ $\Rightarrow S (x) = {(\frac{x}{h})}^{2} a^{2} = \frac{a^{2}}{h^{2}} x^{2}$ .

Do đó thể tích khối chóp tứ giác đều là:

$V = \int_{0}^{h} \frac{a^{2}}{h^{2}} x^{2} d x$ $= {(\frac{a^{2}}{h^{2}} . \frac{x^{3}}{3})|}_{0}^{h} = \frac{1}{3} a^{2} h$