Giải SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Hoạt động khởi động: Ta đã biết trong mặt phẳng Oxy, phương trình tham số của đường thẳng có dạng: $\left\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\end{array}\right(a_1^2+a_2^2\ne \mathrm{0,}t\in R)$

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng có dạng như thế nào?

Lời giải:

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng: $\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}$ với t ∈ ℝ (t được gọi là tham số).

1. Phương trình đường thẳng trong không gian

Hoạt động khám phá 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0 cố định và vectơ $\overrightarrow{a}$ khác $\overrightarrow{0}$. Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua M0 và song song hoặc trùng với giá của $\overrightarrow{a}$.

Lời giải:

Thực hành 1: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với A(1; 2; 1), B(7; 5; 3), C(4; 2; 0), A'(4; 9; 9). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, A'C' và BB'.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(6;3;2\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\left(3;7;8\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng BB' vì AA' // BB'.

$\overrightarrow{AC}=\left(3;0;-1\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A'C' vì AC // A'C'.

Hoạt động khám phá 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) cố định và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ khác $\overrightarrow{0}$.

a) Giải thích tại sao ta có thể viết: M ∈ d ⇔ $\overrightarrow{M_{0}M}=t\overrightarrow{a},\left(t\in R\right)$

b) Với M(x; y; z) thuộc d, hãy tính x, y, z theo x0, y0, z0 và a1, a2, a3.

Lời giải:

Thực hành 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\{\begin{array}{c}x=-1+8t\\ y=-4t\\ z=3+12t\end{array}$

a) Tìm hai vectơ chỉ phương của d.

b) Tìm ba điểm trên d.

Lời giải:

a) Đường thẳng d nhận $\overrightarrow{a}=\left(8;-4;12\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Có $\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}=\left(2;-1;3\right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

b) Cho t = 0, ta có A(−1; 0; 3).

Cho t = 1, ta có B(7; −4; 15).

Cho t = 2, ta có C(15; −8; 27).

Vậy 3 điểm A, B, C là ba điểm thuộc d.

Thực hành 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(5; 0; −7) và nhận $\overrightarrow{v}=\left(9;0;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng d có đi qua điểm M(−4; 0; −5) không?

Lời giải:

Hoạt động khám phá 3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}$ với a1, a2, a3 đều khác 0.

Lấy điểm M(x; y; z) bất kì thuộc d. So sánh các biểu thức: $\frac{x-x_0}{a_1};\frac{y-y_0}{a_2};\frac{z-z_0}{a_3}$

Lời giải:

Ta có $\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}\frac{x-x_0}{a_1}=t\\ \frac{y-y_0}{a_2}=t\\ \frac{z-z_0}{a_3}=t\end{array}$.

Mà M ∈ d nên $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$

Thực hành 4: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M0(5; 0; −6) và nhận $\overrightarrow{a}=\left(3;2;-4\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Lời giải:

Hoạt động khám phá 4: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(2; 2; 1) và B(4; 5; 3).

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;3;2\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

b) Đường thẳng d đi qua điểm A(2; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(2;3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\{\begin{array}{c}x=2+2t\\ y=2+3t\\ z=1+2t\end{array}$ và phương trình chính tắc là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-2}$

Thực hành 5: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng MN, biết M(2; 0; −1) và N(4; 3; 1).

Lời giải:

Vận dụng 1: Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian Oxyz như Hình 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn làn đường đi qua hai điểm M(4; 3; 20) và N(4; 1000; 20).

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua M(4; 3; 20) và nhận $\overrightarrow{a}=\frac{1}{997}\overrightarrow{MN}=\frac{1}{997}\left(0;997;0\right)=\left(0;1;0\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\{\begin{array}{c}x=4\\ y=3+t\\ z=20\end{array}$

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Hoạt động khám phá 5: Cho ba đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=4+t\\ y=1+2t\\ z=1+3t\end{array}$; $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=2t^{\prime }\\ y=7+4t^{\prime }\\ z=2+6t^{\prime }\end{array}$ và $d^{\prime \prime }:\{\begin{array}{c}x=5+2t^{\prime \prime }\\ y=3+4t^{\prime \prime }\\ z=4+6t^{\prime \prime }\end{array}$

a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của d, d' và d".

b) Xét điểm M(4; 1; 1) nằm trên d. Điểm M có nằm trên d' hoặc d" không?

Lời giải:

Thực hành 6: Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\{\begin{array}{c}x=7+4t\\ y=3-2t\\ z=2-2t\end{array}$ và d':$\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-4}{-1}$ ;

b) $d:\frac{x}{3}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{4}$ và d':$\frac{x-2}{3}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-5}{4}$ .

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua M(7; 3; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(4;-2;-2\right)$

Đường thẳng d' đi qua N(3; 5; 4) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(2;-1;-1\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta được

$\frac{7-3}{2}=\frac{3-5}{-1}=\frac{2-4}{-1}$ (luôn đúng). Suy ra điểm M ∈ d'.

Vậy d ≡ d'.

b) Đường thẳng d đi qua M(0; 0; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(3;3;4\right)$

Đường thẳng d' đi qua N(2; 9; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(3;3;4\right)=\overrightarrow{a}$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta có:

$\frac{0-2}{3}=\frac{0-9}{3}=\frac{1-5}{4}$ (vô lí). Suy ra M ∉ d'.

Vậy d // d'.

Vận dụng 2: Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục d của mũi khoan và trục d' của giá đỡ có phương trình lần lượt là: $d:\{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\\ z=1+t\end{array}$ và d': $\{\begin{array}{c}x=10\\ y=20\\ z=5+5t^{\prime }\end{array}$

Lời giải:

Hoạt động khám phá 6: Cho ba đường thẳng

$d:\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2+3t\\ z=3-t\end{array}$; $d^{\prime \prime }:\{\begin{array}{c}x=2-2t^{\prime }\\ y=-2+t^{\prime }\\ z=1+3t^{\prime }\end{array}$ và $d^{\prime \prime }:\{\begin{array}{c}x=2-2t^{\prime \prime }\\ y=-2+t^{\prime \prime }\\ z=3+3t^{\prime \prime }\end{array}$

a) Đường thẳng d' và đường thẳng d" có song song hay trùng với đường thẳng d không?

b) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}1+t=2-2t^{\prime }\\ 2+3t=-2+t^{\prime }\\ 3-t=1+3t^{\prime }\end{array}$ (ẩn t và t'). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d'.

c) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}1+t=2-2t^{\prime \prime }\\ 2+3t=-2+t^{\prime \prime }\\ 3-t=3+3t^{\prime \prime }\end{array}$ (ẩn t và t"). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d".

Lời giải:

a) Ta có đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_1}=\left(1;3;-1\right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_2}=\left(-2;1;3\right)$

Vì $\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{a_2}$ không cùng phương nên d và d' không song song với nhau.

Đường thẳng d" đi qua P(2; −2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_3}=\left(-2;1;3\right)$

Vì $\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{a_3}$ không cùng phương nên d và d" không song song với nhau.

b) $\{\begin{array}{c}1+t=2-2t^{\prime }\\ 2+3t=-2+t^{\prime }\\ 3-t=1+3t^{\prime }\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}t+2t^{\prime }=1\\ 3t-t^{\prime }=-4\\ t+3t^{\prime }=2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}t=-1\\ t^{\prime }=1\end{array}$. Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Vậy d và d' cắt nhau.

c) $\{\begin{array}{c}1+t=2-2t^{\prime \prime }\\ 2+3t=-2+t^{\prime \prime }\\ 3-t=3+3t^{\prime \prime }\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}t+2t^{\prime \prime }=1\\ 3t-t^{\prime \prime }=-4\\ t+3t^{\prime \prime }=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}t=-1\\ t^{\prime }=1\\ -1+3=0\end{array}$(vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.

Thực hành 7: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau.

a) $d:\{\begin{array}{c}x=2t\\ y=1-t\\ z=2-3t\end{array}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{4}=\frac{y}{7}=\frac{z+1}{11}$;

b) $d:\frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{9}$

Lời giải:

Vận dụng 3: Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng d trên trụ cầu và đường thẳng d' trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: $d:\{\begin{array}{c}x=0\\ y=0\\ z=50+t\end{array}$và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=20\\ y=t^{\prime }\\ z=50\end{array}$.

Xét vị trí tương đối giữa d và d'.

Lời giải:

Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_1}=\left(0;0;1\right)$, $\overrightarrow{a_2}=\left(0;1;0\right)$

Ta có $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}$ không cùng phương với nhau nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta xét hệ phương trình $\{\begin{array}{c}0=20\\ 0=t^{\prime }\\ 50+t=50\end{array}$ (vô nghiệm).

Vậy d và d' chéo nhau.

Hoạt động khám phá 7: Cho hai đường thẳng d: $\{\begin{array}{c}x=4+t\\ y=1+2t\\ z=1-t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=t^{\prime }\\ y=7+4t^{\prime }\\ z=9t^{\prime }\end{array}$

a) Tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a^{\prime }}$ lần lượt của d và d'.

b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}$ . Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d'?

Lời giải:

Thực hành 8: Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=-2+t\\ y=t\\ z=-6+2t\end{array}$;

b) $d:\frac{x+2}{7}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+1}{1}$và $d^{\prime }:\frac{x+2}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-5}{2}$

Lời giải:

a) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(1;-3;1\right)$, $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(1;1;2\right)$.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}$ = 1.1 + (−3).1 + 1.2 = 0.

Do đó d và d' vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(7;3;1\right)$, $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(2;2;2\right)$.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}$= 7.2 + 3.2 + 1.2 = 22 ≠ 0.

Do đó d và d' không vuông góc với nhau.

Vận dụng 4: Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:

$d:\{\begin{array}{c}x=t\\ y=20\\ z=9\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=10\\ y=20\\ z=1+3t^{\prime }\end{array}$ . Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?

Lời giải:

3. Góc

Hoạt động khám phá 8: Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(2;1;3\right)$, $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(3;2;-8\right)$

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ $\overrightarrow{b}=\left(-2;-1;-3\right)$ có phải là một vectơ chỉ phương của d không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức cos(d, d') = $\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right)\right|=\left|\cos \left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a^{\prime }}\right)\right|$.

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Lời giải:

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu (d, d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) $\overrightarrow{b}=\left(-2;-1;-3\right)=-\overrightarrow{a}$ . Do đó $\overrightarrow{b}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

c) Vì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

+) (d, d') = $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right)$ nếu $0°\le \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right)\le 90°$

+) $\left(d,d^{\prime }\right)=180°-\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right)$ nếu $90°<\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right)\le 180°$.

Do đó $\cos \left(d,d^{\prime }\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right)\right|=\left|\cos \left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a^{\prime }}\right)\right|$.

d) $\cos \left(d,d^{\prime }\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right)\right|=\frac{\left|}{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}}=\frac{\left|}{2.3+1.2+3.\left(-8\right)}=\frac{16}{7\sqrt{22}}$

Thực hành 9: Tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{x-7}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z-11}{4}$ và $d^{\prime }:\frac{x-3}{2}=\frac{y+6}{5}=\frac{z-1}{-4}$;

b) $d:\frac{x+9}{3}=\frac{y+4}{6}=\frac{z+1}{6}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=9-10t\\ y=7-10t\\ z=15+5t\end{array}$;

c) $d:\{\begin{array}{c}x=23+2t\\ y=57+t\\ z=19-5t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=24+t^{\prime }\\ y=6+t^{\prime }\\ z=t^{\prime }\end{array}$.

Lời giải:

Vận dụng 5: Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian Oxyz. Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: $d:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}$ và $d^{\prime }:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{9}$.

Lời giải:

Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-1\right),\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(3;3;9\right)$

Ta có $\cos \left(d,d^{\prime }\right)=\frac{\left|}{2.3+1.3+\left(-1\right).9}=\frac{0}{3\sqrt{66}}=0$

Suy ra (d, d') = 90°.

Hoạt động khám phá 9: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(n_1;n_2;n_3\right)$. Biết d cắt (P) tại điểm N và hình chiếu vuông góc của d lên (P) là đường thẳng d'. Qua N vẽ đường thẳng ∆ vuông góc với (P) (Hình 12).

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

b) Có nhận xét gì về số đo của hai góc α = (d, d'); β = (∆, d)?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức: $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\right)\right|$

Lời giải:

Thực hành 10: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\{\begin{array}{c}x=11+3t\\ y=-11+t\\ z=-21-2t\end{array}$ và (P): 6x + 2y – 4z + 7 = 0;

b) $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+4}{4}=\frac{z-5}{2}$ và (P): 2x + 2y – 4z + 1 = 0;

c) $d:\frac{x+3}{4}=\frac{y+5}{4}=\frac{z+11}{2}$ và (P): 2y – 4z + 7 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(3;1;-2\right)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(6;2;-4\right)$

Khi đó $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|}{3.6+1.2+\left(-2\right).\left(-4\right)}=\frac{28}{28}=1$

Suy ra (d, (P)) = 90°.

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(2;4;2\right)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;2;-4\right)$

Khi đó $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|}{2.2+4.2+2.\left(-4\right)}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$

Suy ra (d, (P)) ≈ 9,59°.

c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(4;4;2\right)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(0;2;-4\right)$

Khi đó $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|}{4.0+4.2+2.\left(-4\right)}=0$

Suy ra (d, (P)) = 0°.

Vận dụng 6: Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Tính góc giữa tia sáng có phương trình $d:\{\begin{array}{c}x=2\\ y=1+t\\ z=1+t\end{array}$ và mặt sàn sân khấu có phương trình z = 0.

Lời giải:

Hoạt động khám phá 10: Cho hai mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n}=\left(n_1;n_2;n_3\right),\overrightarrow{n^{\prime }}=\left({n^{\prime }}_1;{n^{\prime }}_2;{n^{\prime }}_3\right)$ (Hình 14).

Gọi d và d' là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với (P) và (P'). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') là góc giữa hai đường thẳng d và d'. So sánh cos((P), (P')) và $\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}\right)$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d'.

Có $\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\prime }\right)\right)=\cos (d,d^{\prime })=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}\right)\right|$

Thực hành 11: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') trong mỗi trường hợp sau:

a) (P): 3x + 7y – z + 4 = 0 và (P'): x + y – 10z + 2025 = 0;

b) (P): x – 2y + z + 9 = 0 và (P'): 3x + y – 5z + 2024 = 0;

c) (P): x + z + 3 = 0 và (P'): 3y + 3z + 5 = 0.

Lời giải:

Thực hành 12: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa:

a) Hai đường thẳng AC và BA';

b) Hai mặt phẳng (BB'D'D) và (AA'C'C);

c) Đường thẳng AC' và mặt phẳng (A'BD).

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O trùng với A.

Ta có A'(0; 0; 3), B(1; 0; 0), A(0; 0; 0), C(1; 5; 0), B'(1; 0; 3), D(0; 5; 0), C'(1; 5; 3)

a) Đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{AC}=\left(1;5;0\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng BA' nhận $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\left(-1;0;3\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos \left(AC,B{A}^{\prime }\right)=\frac{\left|}{1.\left(-1\right)+5.0+0.3}=\frac{1}{2\sqrt{65}}$

Suy ra (AC, BA') ≈ 86,44°.

b) Ta có $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\left(0;0;3\right),\overrightarrow{BD}=\left(-1;5;0\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(1;5;0\right)$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\left(0;0;3\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{B{B}^{\prime }},\overrightarrow{BD}\right]=\left(-15;-3;0\right)$, $\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right]=\left(15;-3;0\right)$.

Mặt phẳng (BB'D'D) nhận $\overrightarrow{n}=-\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{B{B}^{\prime }},\overrightarrow{BD}\right]=\left(5;1;0\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (AA'C'C) nhận $\overrightarrow{n^{\prime }}=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right]=\left(5;-1;0\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó $\cos \left(\left(B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D\right),\left(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)\right)=\frac{\left|}{5.5+1.\left(-1\right)+0.0}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$.

Suy ra ((BB'D'D), (AA'C'C)) ≈ 22,62°.

c) Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\left(1;5;3\right)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\left(1;0;-3\right),\overrightarrow{A^{\prime }D}=\left(0;5;-3\right)$, $\left[\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{A^{\prime }D}\right]=\left(15;3;5\right)$.

Đường thẳng AC' nhận $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\left(1;5;3\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (A'BD) nhận $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{A^{\prime }D}\right]=\left(15;3;5\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\sin \left(A{C}^{\prime },\left(A^{\prime }BD\right)\right)=\frac{\left|}{1.15+5.3+3.5}=\frac{45}{7\sqrt{185}}$.

Suy ra (AC', (A'BD)) ≈ 28,21°.

Vận dụng 7: Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng (P): 4x + 11z + 5 = 0 và mặt sàn (Q): z – 1 = 0.

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng a trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng a đi qua điểm M(0; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;-5;0\right)$.

b) Đường thẳng a đi qua hai điểm A(0; 0; 2) và B(3; −2; 5).

Lời giải:

a) Đường thẳng a đi qua điểm M(0; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;-5;0\right)$ có phương trình tham số là $\{\begin{array}{c}x=t\\ y=-2-5t\\ z=-3\end{array}$

b) Có $\overrightarrow{AB}=\left(3;-2;3\right)$.

Đường thẳng a đi qua hai điểm A(0; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(3;-2;3\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\{\begin{array}{c}x=3t\\ y=-2t\\ z=2+3t\end{array}$.

Bài tập 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng b đi qua điểm M(1; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(5;-3;2\right)$.

b) Đường thẳng b đi qua hai điểm A(4; 7; 1) và B(6; 1; 5).

Lời giải:

Bài tập 3: Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc $\frac{x-3}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-2}{7}$.

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm trên d.

b) Viết phương trình tham số của d.

Lời giải:

a) Ta có đường thẳng d đi qua M(3; −3; 2) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(1;3;7\right).$

b) Phương trình tham số của d là $\{\begin{array}{c}x=3+t\\ y=-3+3t\\ z=2+7t\end{array}$

Bài tập 4: Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với tọa độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là M(3; 3; 1,5), N(3; 4; 1,5). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).

Lời giải:

Bài tập 5: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-1+2t\\ z=-2+t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=2+2t^{\prime }\\ y=3+4t^{\prime }\\ z=2t^{\prime }\end{array}$;

b) $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-1}{1}$.

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua M(1; −1;−2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;2;1\right)$

Đường thẳng d' đi qua N(2; 3; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(2;4;2\right)=2\overrightarrow{a}$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta được:

$\{\begin{array}{c}1=2+2t^{\prime }\\ -1=3+4t^{\prime }\\ -2=2t^{\prime }\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}{t}^{\prime }=\frac{-1}{2}\\ t^{\prime }=-1\\ t^{\prime }=-1\end{array}$(vô lí).

Suy ra d // d'.

b) Đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;2;2\right)$

Đường thẳng d' đi qua N(2; 1; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(1;5;1\right)$

Có $\overrightarrow{MN}=\left(1;-1;-2\right)$, $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right]=\left(-8;1;3\right)$.

Có $\overrightarrow{MN}.\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}\right]=1.\left(-8\right)+\left(-1\right).1+\left(-2\right).3=-15\ne 0$.

Do đó d và d' chéo nhau.

Bài tập 6: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; 1) và song song với đường thẳng d': $\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{4}$

Lời giải:

Bài tập 7: Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục a của mũi khoan và một đường rãnh b trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là: $a:\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2\\ z=3t\end{array}$ và $b:\{\begin{array}{c}x=1+4t^{\prime }\\ y=2+2t^{\prime }\\ z=6\end{array}$

a) Chứng minh a, b vuông góc và cắt nhau.

b) Tìm giao điểm của a và b.

Lời giải:

a) Đường thẳng a đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(0;0;3\right)$

Đường thẳng b đi qua N(1; 2; 6) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(4;2;0\right)$

Có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}=0.4+0.2+3.0=0$. Suy ra a ⊥ b.

Ta xét hệ $\{\begin{array}{c}1=1+4t^{\prime }\\ 2=2+2t^{\prime }\\ 3t=6\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}{t}^{\prime }=0\\ t^{\prime }=0\\ t=2\end{array}$. Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Do đó a và b cắt nhau.

b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng a ta được $\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2\\ z=6\end{array}$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này là (1; 2; 6).

Bài tập 8: Tính góc giữa hai đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-7}{2}$ và $d^{\prime }:\frac{x-1}{3}=\frac{y+7}{3}=\frac{z-12}{6}$.

Lời giải:

Bài tập 9: Tính góc giữa đường thẳng d: $\frac{x+2}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$ và mặt phẳng (P): 3y – 3z + 1 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(2;2;1\right)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(0;3;-3\right)$

$\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|}{2.0+2.3+1.\left(-3\right)}=\frac{3}{9\sqrt{2}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}$

Suy ra (d, (P)) ≈ 13,63°.

Bài tập 10: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 4y + 4z + 1 = 0 và (P'): 7x + 7z + 2 = 0.

Lời giải:

Bài tập 11: Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0.

a) Tính góc giữa (P) và (P').

b) Tính góc hợp bởi (P) và (P') với mặt đất (Q) có phương trình z = 0.

Lời giải:

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;0;2\right)$

Mặt phẳng (P') có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n^{\prime }}=\left(1;0;1\right)$

$\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\prime }\right)\right)=\frac{\left|}{2.1+0.0+2.1}=\frac{4}{4}=1$

Suy ra ((P), (P')) = 0°.

b) Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_Q}=\left(0;0;1\right)$

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|}{2.0+0.0+2.1}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Suy ra ((P), (Q)) = 45°.

$\cos \left(\left(P^{\prime }\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|}{1.0+0.0+1.1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Suy ra ((P'), (Q)) = 45°.

Bài tập 12: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2). Tính góc giữa:

a) Hai đường thẳng BO' và B'C;

b) Hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC);

c) Đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC)

Lời giải:

Chọn hệ trục như hình vẽ

O(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2), B'(3; 0; 2), C'(0; 1; 2).

a) Đường thẳng BO' nhận $\overrightarrow{B{O}^{\prime }}=\left(-3;0;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng B'C nhận $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\left(-3;1;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

$\cos \left(B{O}^{\prime },B^{\prime }C\right)=\frac{\left|}{\left(-3\right).\left(-3\right)+0.1+2.\left(-2\right)}=\frac{5}{\sqrt{182}}$

Suy ra (BO', B'C) ≈ 68,25°.

b) Mặt phẳng (OBC) Ì (Oxy) nên nhận $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (O'BC) có phương trình đoạn chắn là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1$ ⇔ 2x + 6y + 3z = 6 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;6;3\right)$

$\cos \left(\left(O^{\prime }BC\right),\left(OBC\right)\right)=\frac{\left|}{3}=\frac{3}{7}$.

Suy ra ((O'BC), (OBC)) ≈ 64,62°.

c) Đường thẳng B'C nhận $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\left(-3;1;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (O'BC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;6;3\right)$

$\sin \left(B^{\prime }C,\left(O^{\prime }BC\right)\right)=\frac{\left|}{\left(-3\right).2+1.6+\left(-2\right).3}=\frac{6}{7\sqrt{14}}$

Suy ra (B'C, (O'BC)) ≈ 13,24°.