Giải SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{3-\sqrt{3}}{3};\frac{3+\sqrt{3}}{3}\right)$.

Luyện tập 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2;$                            b) $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$.

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có y' = x2 + 6x + 5; y' = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = −5.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −5) và (−1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−5; −1).

b) Tập xác định của hàm số là ℝ\{2}.

Có $y^{\prime }=\frac{\left(-2x+5\right)\left(x-2\right)-\left(-x^2+5x-7\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{-x^2+4x-3}{{\left(x-2\right)}^2}$;

y' = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (2; 3).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).

Vận dụng 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

Trả lời:

Ta có s(t) = t3 – 9t2 + 15t.

Có v(t) = s'(t) = 3t2 – 18t + 15.

Chất điểm chuyển động sang phải khi v(t) > 0.

Có v(t) > 0 $\iff [\begin{array}{c}t<1\\ t>5\end{array}$ và v(t) < 0 $\iff$1 < t < 5.

Do t ≥ 0 nên ta có:

Chất điểm chuyển động sang phải khi t ∈ (0; 1) và (5; +∞).

Chất điểm chuyển động sang trái khi t ∈ (1; 5).

Vậy chất điểm chuyển động sang phải trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 1 giây hoặc trong khoảng thời gian lớn hơn 5 giây, chất điểm chuyển động sang trái trong khoảng thời gian từ 1 giây đến 5 giây.

2. Cực trị của hàm số

Hoạt động 4: Quan sát đồ thị của hàm số y = x3 + 3x2 – 4 (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Trả lời:

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 3x2 + 6x; y' = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = −2.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có

Luyện tập 4: Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y = f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Trả lời:

Dựa vào đồ thị trên, ta thấy:

+ Hàm số đạt cực đại tại  và .

+ Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

Hoạt động 5: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$.

a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) = 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = x2 – 6x + 8.

Có y' = 0 ⇔ x2 – 6x + 8 = 0 ⇔ x = 4 hoặc x = 2.

b) Ta có bảng biến thiên

c) Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCĐ = y(2) = $\frac{23}{3}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và yCT = y(4) = $\frac{19}{3}$.

Câu hỏi: Giải thích vì sao nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x0 thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Trả lời:

f'(x) không đổi dấu khi x qua x0, ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x0 thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số f(x).

Luyện tập 5: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x4 – 3x2 + 1;

b) $y=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}$.

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có y' = 4x3 – 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = $-\frac{\sqrt{6}}{2}$ hoặc $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ và yCT = $-\frac{5}{4}$.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 1.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ và yCT = $-\frac{5}{4}$.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ\{−2}.

Có $y^{\prime }=\frac{\left(-2x+2\right)\left(x+2\right)-\left(-x^2+2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{-x^2-4x+5}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Có y' = 0⇔ −x2 – 4x + 5 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −5.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −5 và yCT = 12.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCĐ = 0.

Vận dụng 2: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức

h(t) = 2 + 24,5t – 4,9t2.

Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Trả lời:

Tập xác định của hàm số là .

Ta có: ; .

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại  và .

Do đó thời điểm t = 2,5 giây thì vật đạt độ cao lớn nhất.

Bài tập

Bài 1.1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ (H.1.11);

b) Đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{3{\left(x^2-4\right)}^2}$ (H.1.12).

Trả lời:

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).

Bài 1.2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$;

b) y = −x3 + 2x2 – 5x + 3.

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = x2 – 4x + 3.

Hàm số đồng biến khi y' > 0 $\iff$ x2 – 4x + 3 > 0 $\iff [\begin{array}{c}x<1\\ x>3\end{array}$.

Hàm số nghịch biến khi y' < 0 $\iff$ x2 – 4x + 3 < 0 $\iff$ 1 < x < 3.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞); nghịch biến trên khoảng (1; 3).

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −3x2 + 4x – 5

$\begin{array}{c}=-3\left(x^2-\frac{4}{3}x\right)-5\\ =-3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+\frac{4}{3}-5\\ =-3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{11}{3}<\mathrm{0,}\forall x\end{array}$

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên ℝ.

Bài 1.3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$;                                               b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$.

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ\{−2}.

Có $y^{\prime }=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne -2$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên cách khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).

b) Tập xác định của hàm số là ℝ\{3}.

Có $y^{\prime }=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-3\right)-\left(x^2+x+4\right)}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}$;

Có y' = 0 ⇔ x2 – 6x – 7 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 7.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (7; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 3) và (3; 7).

Bài 1.4: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{4-x^2}$;

b) $y=\frac{x}{x^2+1}$.

Trả lời:

a) Tập xác định: .

Ta có: ;  (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

+ Hàm số đồng biến trên khoảng .

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng .

b) Tập xác định: .

Ta có: ; .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

+ Hàm số đồng biến trên khoảng .

+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Bài 1.5: Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N\left(t\right)=\frac{25t+10}{t+5},t\ge \mathrm{0,}$ trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

b) Tính đạo hàm N'(t) và $\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(t\right)$. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

Trả lời:

a) Số dân vào năm 2000 (t = 0) của thị trấn đó là: $N\left(0\right)=\frac{25.0+10}{0+5}=2$ nghìn người.

Sau 15 năm kể từ năm 2000 số dân của thị trấn đó là: $N\left(15\right)=\frac{25.15+10}{15+5}=\mathrm{19,25}$.

Vậy số dân của thị trấn đó vào năm 2015 là 19250 người.

b) Có $N^{\prime }\left(t\right)=\frac{25\left(t+5\right)-\left(25t+10\right)}{{\left(t+5\right)}^2}=\frac{115}{{\left(t+5\right)}^2}$;

$\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{25t+10}{t+5}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{25+\frac{10}{t}}{1+\frac{5}{t}}=25$

Vì N'(t) > 0, ∀t do đó hàm số N(t) là hàm đồng biến hơn nữa $\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(t\right)=25$ do đó dân số của thị trấn đó sẽ không vượt quá 25 nghìn người.

Bài 1.6: Đồ thị của đạo hàm bậc nhất y = f'(x) của hàm số f(x) được cho trong hình 1.13.

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại và cực tiểu? Giải thích.

Trả lời:

Dựa vào đồ thị của hàm y = f'(x), ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau

a) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (2; 4) và (6; +∞).

b) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và x = 6.

Hàm số đạt cực đại tại x = 4.

Bài 1.7: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 5;

b) y = x4 – 4x2 + 2;

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 6x2 – 18x + 12; y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCĐ = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = −1.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 4x3 – 8x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=-\sqrt{2}$ hoặc $x=\sqrt{2}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\sqrt{2}$ và yCT = −2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\sqrt{2}$ và yCT = −2.

c) Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

Có $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$;

Có y' = 0 ⇔ x2 – 2x – 1 = 0 $\iff x=1-\sqrt{2}$ hoặc $x=1+\sqrt{2}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x=1-\sqrt{2}$ và $y_{CĐ}=-2\sqrt{2}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$ và $y_{CT}=2\sqrt{2}$.

d) Tập xác định của hàm số là D = [0; 2].

Có $y^{\prime }=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{2\left(1-x\right)}{\sqrt{4x-2x^2}}$.

Có y' = 0 ⇔ x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và $y_{CĐ}=\sqrt{2}$.

Hàm số không có cực tiểu.

Bài 1.8: Cho hàm số y = f(x) = |x|.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ và $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$.

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại x = 0 (xem hình 1.4).

Trả lời:

a) Ta có: ;

.

, do đó hàm số không có đạo hàm tại .

b) Ta có: 

Hàm số  liên tục và xác định trên 

Với một số , hàm số  với  và . Do đó hàm số có điểm cực tiểu tại .

Bài 1.9: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\ge \mathrm{0,}$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f'(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Trả lời:

Có $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}}=\frac{5000e^t}{e^t+5}$.

Có $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{5000e^t\left(e^t+5\right)-5000e^{2t}}{{\left(e^t+5\right)}^2}=\frac{25000e^t}{{\left(e^t+5\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall t>0$.

Và $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=5000$. Do đó, doanh số luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá 5 000.

Có $f"\left(t\right)=\frac{25000e^t.{\left(e^t+5\right)}^2-50000e^t\left(e^t+5\right)e^t}{{\left(e^t+5\right)}^4}$

$=\frac{25000e^t.\left(e^t+5\right)\left(e^t+5-2e^t\right)}{{\left(e^t+5\right)}^4}$

$=\frac{25000e^t.\left(5-e^t\right)}{{\left(e^t+5\right)}^3}$

Có f"(t) = 0 ⇔ 5 – et = 0 ⇔ t = ln5.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f'(t) đạt giá trị lớn nhất tại t = ln5 ≈ 1,6 và $\underset{t\ge 0}{\max }{f}^{\prime }\left(t\right)=f^{\prime }\left(\ln 5\right)=1250$.

Vậy sau khi phát hành sản phẩm khoảng 1,6 năm thì tốc độ bán hàng lớn nhất.