Giải SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương V

A. Trắc nghiệm

Bài 5.31: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là

A. (1; 2; 3).

B. (1; −2; 3).

C. (1; 2; −3).

D. (1; −2; −3).

Đáp án: D

Mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là (1; −2; −3).

Bài 5.32: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; −1; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến là

A. x – y + 2z + 1 = 0.

B. x – y + 2z – 6 = 0.

C. 2x + y – z – 1 = 0.

D. 2x + y – z + 1 = 0.

Đáp án: D

Bài 5.33: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-2}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là

A. (1; −2; 3).

B. (2; 1; −2).

C. (2; 1; 2).

D. (1; 2; 3).

Đáp án: B

Đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-2}$ có một vectơ chỉ phương là (2; 1; −2).

Bài 5.34: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t\end{array}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là

A. (1; −2; 3).

B. (2; 0; 0).

C. (2; 1; −1).

D. (2; 1; 1).

Đáp án: C

Bài 5.35: Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2; −1; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-3\right)$ làm vectơ chỉ phương là

A. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{1}$

B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{-3}$

C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-3}$

D. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{1}$

Đáp án: C

Đường thẳng d đi qua I(2; −1; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-3\right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-3}$

Bài 5.36: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 0; −1), B(2; 1; 1). Phương trình đường thẳng AB là

A. $\{\begin{array}{c}x=1+3t\\ y=t\\ z=1+2t\end{array}$

B. $\{\begin{array}{c}x=-1+t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$

C. $\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1+t\\ z=1+2t\end{array}$

D. $\{\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$

Đáp án: D

Có $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;2\right)$

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0; −1), nhận $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: $\{\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$

Bài 5.37: Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2; 1; −3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y + z – 3 = 0 là

A. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+3}{1}$

B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{1}$

C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{1}$

D. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{1}$

Đáp án: A

Bài 5.38: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)2 + y2 + (z – 3)2 = 4. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là

A. I(1; 0; 3), R = 4.

B. I(1; 0; 3), R = 2.

C. I(−1; 0; 3), R = 2.

D. I(−1; 0; 3), R = 4.

Đáp án: C

Mặt cầu (S): (x + 1)2 + y2 + (z – 3)2 = 4 có tâm I(−1; 0; 3) và R = 2.

Bài 5.39: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là

A. I(1; −2; −1), R = 3.

B. I(1; 2; 1), R = 9.

C. I(1; 2; 1), R = 3.

D. I(1; −2; −1), R = 9.

Đáp án: A

Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 có tâm I(1; −2; −1) và $R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2+3}=3$

B. Tự luận

Bài 5.40: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(0; 1; 2), C(−1; −2; 3).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình đường thẳng AC.

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.

Lời giải:

Bài 5.41: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:$\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-2+t\\ z=4-2t\end{array}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Lời giải:

Đường thẳng  đi qua điểm  và có vectơ chỉ phương là 

Mặt phẳng  chứa đường thẳng  và gốc toạ độ  nên có cặp vectơ chỉ phương là  và  nên có vecto pháp tuyến  

Mà mặt phẳng  đi qua điểm  nên  có phương trình là:

Bài 5.42: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 1; 0).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) $d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{\left|}{1-2.\left(-1\right)+2.2}=\frac{7}{3}$

b) Mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right)$

Vì (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (Q) là: x – 1 – 2(y + 1) + 2(z – 2) = 0 hay x – 2y + 2z – 7 = 0.

c) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;2;-2\right)$

Mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right)$

Có $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;2;2\right)$

Mặt phẳng (R) đi qua A(1; −1; 2) và nhận $\overrightarrow{n_R}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;1;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: y + 1 + z – 2 = 0 hay y + z – 1 = 0.

Bài 5.43: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và hai đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$, $d^{\prime }:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-1}$

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Lời giải:

Bài 5.44: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 3 = 0 và đường thẳng d:$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1;-1\right)$

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;-2\right)$

Có $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(-4;3;-5\right)$

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; -1; 0) và nhận $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(-4;3;-5\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: −4(x – 1) + 3(y + 1) −5z = 0 hay 4x – 3y + 5z – 7 = 0.