Giải SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Mở đầu: Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số m(t) = 15e−0,012t. Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?

Trả lời:

1. Đường tiệm cận ngang

Hoạt động 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x}$ có đồ thị (C). Với x > 0, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng y = 2 (H.1.19).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi x → +∞.

Trả lời:

a) Ta có các điểm  và .

 (do )

b) Ta có: . Do đó, khi  thì .

Luyện tập 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$.

Trả lời:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$

Vậy y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vận dụng 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Trả lời:

2. Đường tiệm cận đứng

Hoạt động 2: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị (C). Với x > 1, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng x = 1 (H.1.22).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M.

Trả lời:

a) Ta có MH = |x – 1|.

b) Khoảng cách MH dần đến 0 tức là x dần đến 1+.

Khi đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x}{x-1}=+\infty$.

Nghĩa là khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M tiến dần đến vô cùng.

Luyện tập 2: Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-4}$.

Trả lời:

Ta có: ; . Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là .

Ta có: ; . Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là .

Vận dụng 2: Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là $C\left(p\right)=\frac{45p}{100-p}$ (triệu đồng), với 0 ≤ p < 100. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này.

Trả lời:

Ta có $\underset{p\to {100}^{-}}{\lim }C\left(p\right)=\underset{p\to {100}^{-}}{\lim }\frac{45p}{100-p}=+\infty$

Vậy p = 100 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(P).

Đường tiệm cận đứng cho ta biết rằng không thể loại bỏ 100% tảo độc ra khỏi hồ nước.

3. Đường tiệm cận xiên

Hoạt động 3: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x-1+\frac{2}{x+1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng y = x −1 như hình 1.24.

a) Với x > −1, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng y = x – 1. Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi x → +∞?

b) Chứng tỏ rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]=0$. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Trả lời:

a) Ta có y = x – 1 ⇔ x – y – 1 = 0 (d).

Khi đó $MH=d(M,d)=\frac{\left|}{x-f\left(x\right)-1}=\frac{\left|}{x-1-\left(x-1+\frac{2}{x+1}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{x+1}$(vì x > −1).

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2}}{x+1}=0$.

Vậy MH sẽ dần tới 0 khi x → +∞.

b) Ta có:

.

Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 cho thấy khoảng cách từ điểm  trên đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng  tiến đến 0 khi .

Luyện tập 3: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+2}{1-x}$.

Trả lời:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-4x+2}{1-x}=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-4x+2}{1-x}=-\infty$

Vậy x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+2}{1-x}=-x+3-\frac{1}{1-x}$

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(-x+3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{1-x}\right)=0$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(-x+3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{1-x}\right)=0$

Do đó y = −x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài tập

Bài 1.16: Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2-1}$. Sử dụng đồ thị này, hãy:

a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$.

b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Trả lời:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2;\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

b) y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x = 1 và x = −1 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 1.17: Đường thẳng x = 1 có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$ không?

Trả lời:

Ta có hàm số ;

;

Vậy đường thẳng  không phải là tiệm cận đứng của hàm số.

Bài 1.18: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=\frac{3-x}{2x+1}$;                                              b) $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Trả lời:

a) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}.$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}.$

Vậy $y=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=+\infty$;

Tương tự $\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=-\infty$.

Vậy $x=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=-\infty$

Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}$

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x+2}=0$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x+2}=0$

Vậy y = 2x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 1.19: Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là C(x) = 2x + 50 (triệu đồng).

Khi đó $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$. Tính chất này nói lên điều gì?

Trả lời:

Ta có:

Vì  với mọi số thực  nên hàm số  giảm.

 (điều phải chứng minh)

Tính chất này nói lên điều rằng khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm, nhưng không dưới 2.

Bài 1.20: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144 m2. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m).

a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) mét của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x). Giải thích ý nghĩa thực tiễn của các kết quả này.

Trả lời:

a) Cạnh còn lại của mảnh vườn có độ dài là $\frac{144}{x}$(m) (x > 0).

Chu vi mảnh vườn là $P\left(x\right)=2\left(x+\frac{144}{x}\right)=\frac{2x^2+288}{x}$ (m) (x > 0).

b) Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x^2+288}{x}=+\infty$

Tương tự $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2x^2+288}{x}=-\infty$

Vậy x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ý nghĩa: Khi độ dài một cạnh dần đến 0 thì chu vi của mảnh vườn sẽ ra vô cùng (do khi đó diện tích là cố định, nên độ dài của cạnh còn lại sẽ tiến dần đến vô cùng).

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[P\left(x\right)-2x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2\left(x+\frac{144}{x}\right)-2x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{288}{x}=0$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[P\left(x\right)-2x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2\left(x+\frac{144}{x}\right)-2x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{288}{x}=0.$

Do đó y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ý nghĩa: Khi độ dài độ dài cạnh x càng lớn thì chu vi sẽ tiến dần đến 2x (vì diện tích không đổi nên độ dài cạnh còn lại sẽ càng ngày càng nhỏ).