Giải SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Mở đầu: Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.

Trả lời:

Gọi x (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa.

Điều kiện 0 < x < 30.

Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh x (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng (60 – 2x) (cm) và chiều cao bằng x (cm).

Thể tích của chiếc hộp này là: V(x) = (60 – 2x)2.x = 4x3 – 240x2 + 3600x (cm3).

Ta có V'(x) = 12x2 – 480x + 3600;

V'(x) = 0 ⇔ 12x2 – 480x + 3600 = 0 ⇔ x = 10 (thỏa mãn) hoặc x = 30 (loại).

Lập bảng biến thiên

Vậy để thể tích của chiếc hộp lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10 cm.

1. Định nghĩa

Hoạt động 1: Cho hàm số y = f(x) = x2 – 2x với x ∈ [0; 3], có đồ thị như hình 1.15.

a) Giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu? Tìm x0 sao cho f(x0) = M.

b) Giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu? Tìm x0 sao cho f(x0) = m.

Trả lời:

a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  là . 

Tại  thì .

b)  Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  là . 

Tại  thì .

Luyện tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{2x-x^2}$;

b) $y=-x+\frac{1}{x-1}$ trên khoảng (1; +∞).

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là [0; 2].

Có $y^{\prime }=\frac{{\left(2x-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}};y\text{'}=0\iff x=1.$

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

$\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(0\right)=y\left(2\right)=0;\underset{\left[0;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)=1$

b) Trên khoảng (1; +∞) ta có $y^{\prime }=-1-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\in \left(1;+\infty \right)$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (1; +∞).

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Hoạt động 2: Xét hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 + 1 trên đoạn [−1; 2] với đồ thị như hình 1.16

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 2].

b) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x ∈ (−1; 2) mà f'(x) = 0.

c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn [−1; 2] và tại các điểm x đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }f\left(x\right)$, số lớn nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }f\left(x\right)$.

Trả lời:

Luyện tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2x3 – 3x2 + 5x + 2 trên đoạn [0; 2];

b) y = (x + 1)e−x trên đoạn [−1;1].

Trả lời:

a) Ta có y' = 6x2 – 6x + 5 = 6(x2 – x) + 5 = $6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{2}>0$.

Hàm số luôn đồng biến.

Có y(0) = 2; y(2) = 16.

Vậy $\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(0\right)=2;\underset{\left[0;2\right]}{\max }y=y\left(2\right)=16$.

b) Có y' = e−x − (x + 1)e−x; y' = 0 ⇔ e−x − (x + 1)e−x = 0 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0.

Có y(−1) = 0; y(0) = 1; y(1) = $\frac{2}{e}$.

Vậy $\underset{\left[-1;1\right]}{\min }y=y(-1)=0;\underset{\left[-1;1\right]}{\max }y=y\left(0\right)=1$.

Vận dụng: Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số N(t) = −t3 + 12t2, 0 ≤ t ≤ 12, trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của vius (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Trả lời:

a) Với , ta có:

;

Ta có: ; ; .

Do đó số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó là 256 người.

b) Với , ta có:

;  (thỏa mãn)

; ; .

Do đó virus sẽ lây lan nhanh nhất sau 4 tuần ().

Bài tập

Bài 1.10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = −x2 + 4x + 3;

b) y = x3 – 2x2 + 1 trên [0; +∞);

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ trên (1; +∞);

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Trả lời:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −2x + 4; y' = 0 ⇔ x = 2.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{R}{\max }y=y\left(2\right)=7$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) Trên [0; +∞), ta có y' = 3x2 – 4x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=\frac{4}{3}$.

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{5}{27}$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Trên (1; +∞), có $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Có y' = 0 ⇔ x2 – 2x – 1 = 0 $\iff x=1-\sqrt{2}$ (loại) hoặc $x=1+\sqrt{2}$ (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\left(1;+\infty \right)}{\min }y=y\left(1+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

d) Tập xác định của hàm số là D = [0; 2].

Có $y^{\prime }=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{2\left(1-x\right)}{\sqrt{4x-2x^2}}$

Có y' = 0 ⇔ x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(0\right)=y\left(2\right)=0;\underset{\left[0;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)=\sqrt{2}$.

Bài 1.11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = x4 – 2x2 + 3;

b) y = xe−x;

c) y = xlnx;

d) $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

Trả lời:

a) Tập xác định: .

Ta có: ;

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy  và

b) Tập xác định: .

Ta có: ; 

 (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy  và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định: .

Ta có: ; 

 (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy  và hàm sô không có giá trị lớn nhất.

d) Tập xác định: .

Ta có: ;

           (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy  và .

Bài 1.12: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2x3 – 6x + 3 trên đoạn [−1; 2];

b) y = x4 – 3x2 + 2 trên đoạn [0; 3];

c) y = x – sin2x trên đoạn [0; π];

d) y = (x2 – x)ex trên đoạn [0; 1].

Trả lời:

Bài 1.13: Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?

Trả lời:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 24 : 2 = 12 (cm)

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm) (0 < x < 12).

Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 12 – x (cm).

Diện tích hình chữ nhật là x(12 – x) = 12x – x2 (cm2).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 12x – x2 (0 < x < 12).

Có y' = 12 – 2x; y' = 0 ⇔ x = 6.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có diện tích lớn nhất hình chữ nhật là 36 cm2 khi nó là hình vuông có cạnh bằng 6 cm.

Bài 1.14: Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm2 như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Trả lời:

Diện tích bề mặt của hộp là  (cm2) →  (cm)

→ Thể tích  (cm3)

Với , ta có:

;  

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

 (cm3) với  cm và  (cm)

Bài 1.15: Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm3. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm2, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm2. Tính các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Trả lời:

Gọi r, h lần lượt là bán kính hình tròn đáy và chiều cao của hình trụ (r, h > 0).

Khi đó ta có V = πr2h = 1000 ⇔ $h=\frac{1000}{\pi r^2}$

Diện tích mặt trên và mặt dưới của bình là 2πr2 (cm2).

Chi phí vật liệu sản xuất mặt trên và mặt dưới là 1,2. 2πr2 = 2,4πr2 (nghìn đồng).

Diện tích mặt bên của bình là 2πrh (cm2).

Chi phí vật liệu sản xuất mặt bên là 0,75. 2πrh = 1,5πrh (nghìn đồng).

Tổng chi phí là: 2,4πr2 + 1,5πrh = $\mathrm{2,4}\pi r^2+\frac{1500}{r}$(nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\mathrm{2,4}\pi r^2+\frac{1500}{r}$, r > 0.

Có $y^{\prime }=\mathrm{4,8}\pi r-\frac{1500}{r^2}$; $y^{\prime }=0\iff \mathrm{4,8}\pi r-\frac{1500}{r^2}=0\iff r=\sqrt[3]{3\frac{625}{2\pi }}\approx \mathrm{4,6}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình nhỏ nhất khoảng 485,6 nghìn đồng khi r khoảng 4,6 cm và h khoảng 15 cm.