Giải SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài 6: Vectơ trong không gian - Giải SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Mở đầu: Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng?

Trả lời:

Sau khi học xong bài này, ta thấy rằng:

Trong không gian, vectơ vẫn là công cụ để biểu diễn các đại lượng có hướng như vận tốc, lực hay các đại lượng khác. Các phép toán trong không gian tương tự như trong mặt phẳng nhưng có một số khác biệt như:

- Biểu diễn vectơ: Trong không gian mỗi vectơ được biểu diễn bởi một bộ ba giá trị (x; y; z).

- Các phép toán vectơ: cơ bản vẫn giống trong mặt phẳng.

1. Vectơ trong không gian

Hoạt động 1: Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.

a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây?

b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

HĐ1 trang 46 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

a. Các đoạn thẳng này có hướng lên trên (về phía móc cần cẩu) và độ dài của các đoạn thẳng thể hiện cho độ lớn của các lực căng dây và được lấy tỉ lệ với độ lớn của các lực căng dây.

b. Các đoạn thẳng này không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Luyện tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.6). Trong các vectơ $\vec{A C}, \vec{A D}, \vec{A D^{'}}$ :

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Luyện tập 1 trang 47 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

a) Hai vectơ có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD) là $\vec{A C}, \vec{A D} .$

b) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên AD = DC = DD'.

Xét ∆ADC vuông tại D, có $A C = \sqrt{A D^{2} + D C^{2}} = A D \sqrt{2}$ .

Xét ∆ADD' vuông tại D, có $A D^{'} = \sqrt{A D^{2} + D {D^{'}}^{2}} = A D \sqrt{2}$ .

Do đó AC = AD' hay $|\vec{A C}| = |\vec{A D^{'}}|$ .

Vậy hai vectơ $\vec{A C}, \vec{A D^{'}}$ có cùng độ dài.

Hoạt động 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.7).

a) So sánh độ dài của hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{D^{'} C^{'}}$ .

b) Nhận xét về giá của hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{D^{'} C^{'}}$ .

c) Hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{D^{'} C^{'}}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?

HĐ2 trang 47 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

a. Vì là hình hộp nên và là các hình bình hành. Suy ra, . Vậy nên .

b. Vì và là các hình bình hành nên , . Do đó . Vậy giá của hai vectơ và song song với nhau.

c. Hai vectơ và cùng phương và cùng hướng.

Câu hỏi: Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?

Trả lời:

Giả sử có ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ sao cho $\vec{a} = \vec{b}; \vec{b} = \vec{c}$ .

Vì $\vec{a} = \vec{b}$ nên hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ có cùng hướng và $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ (1).

Vì $\vec{b} = \vec{c}$ nên hai vectơ $\vec{b}, \vec{c}$ có cùng hướng và $|\vec{b}| = |\vec{c}|$ (2).

Từ (1) và (2), ta có $\vec{a}, \vec{c}$ có cùng hướng và $|\vec{a}| = |\vec{c}|$ .

Vậy nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó bằng nhau.

Luyện tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Trong ba vectơ $\vec{S C}, \vec{A D}$ và $\vec{D C}$ vectơ nào bằng vectơ $\vec{A B}$ ?

b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm sao cho $\vec{M N} = \vec{A B}$ .

Trả lời:

a) Vì là hình bình hành nên . Do đó, hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.

Vì và chéo nhau nên hai vectơ và không cùng phương. Do đó, hai vectơ và không bằng nhau.

Vì hai vectơ và không cùng phương nên hai vectơ và không bằng nhau.

b) Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại .

Tứ giác có: , nên tứ giác là hình bình hành. Do đó, .

Lại có nên nên hai vectơ và cùng độ dài và cùng hướng. Suy ra, . Vậy điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng qua song song với và cạnh .

Vận dụng 1: Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lần tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

Vận dụng 1 trang 48 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 15 lên tầng 22 là $\vec{a}$ .

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 22 lên tầng 29 là $\vec{b}$ .

Vì hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ đều dịch chuyển từ tầng thấp lên tầng cao nên hai vectơ này cùng hướng.

Và $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 7$ (tầng).

Do đó ta có $\vec{a} = \vec{b}$ .

Vậy các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển bằng nhau.

2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

Hoạt động 3: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{B C} = \vec{b}$ . Lấy điểm A' khác A và vẽ các vectơ $\vec{A^{'} B^{'}} = \vec{a}, \vec{B^{'} C^{'}} = \vec{b}$ (H.2.10).

a) Giải thích vì sao $\vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}}$ và $\vec{B B^{'}} = \vec{C C^{'}}$ .

b) Giải thích vì sao AA'C'C là hình bình hành, từ đó suy ra $\vec{A C} = \vec{A^{'} C^{'}}$ .

HĐ3 trang 49 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

a) Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, và . Do đó, tứ giác là hình bình hành. Suy ra, , hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .

Vì nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, và . Do đó, tứ giác là hình bình hành. Suy ra, , hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .

b) Vì hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ và cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, và nên tứ giác là hình bình hành. Suy ra và . Do đó, hai vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, .

Luyện tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12). Tính độ dài của vectơ $\vec{A C} + \vec{C^{'} D^{'}}$

Luyện tập 3 trang 50 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Vì DCC'D' là hình vuông nên $\vec{C^{'} D^{'}} = \vec{C D}$ .

Do đó $\vec{A C} + \vec{C^{'} D^{'}}$ $= \vec{A C} + \vec{C D} = \vec{A D}$ .

Mà $|\vec{A D}| = 1$ nên $|\vec{A C} + \vec{C^{'} D^{'}}| = 1$ .

Luyện tập 4: Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B}$ .

Luyện tập 4 trang 50 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Ta có:

Hoạt động 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.14).

a) Hai vectơ $\vec{A B} + \vec{A D}$ và $\vec{A C}$ có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}$ và $\vec{A C^{'}}$ có bằng nhau hay không?

HĐ4 trang 50 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

b) Có $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C} + \vec{A A^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AA' // CC' và AA' = CC'.

Do đó ACC'A' là hình bình hành.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\vec{A C} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

Vậy $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}} .$

Câu hỏi: Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.

$\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}} .$

Trả lời:

- Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, ta có: $\vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B B^{'}} = \vec{B D^{'}}$ .

Luyện tập 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh $\vec{B B^{'}} + \vec{C D} + \vec{A D} = \vec{B D^{'}}$ .

Luyện tập 5 trang 50 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Vì là hình chữ nhật nên ,

Vì là hình hộp chữ nhật nên

Ta có: .

Hoạt động 5: Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó?

HĐ5 trang 51 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

- Vì hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau nên hai vectơ biểu diễn hai lực đó cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.

Luyện tập 6: Trong Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD (H.2.16). Chứng minh rằng:

a) $\vec{B N}$ và $\vec{D M}$ là hai vectơ đối nhau;

b) $\vec{S D} - \vec{B N} - \vec{C M} = \vec{S C}$ .

Luyện tập 6 trang 52 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

a. Tứ giác là hình bình hành nên , . Suy ra (vì lần lượt là trung điểm của ) và . Do đó, tứ giác là hình bình hành, do đó, và . Hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên và đối nhau.

b. Ta có: . Do đó, .

Vận dụng 2: Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.

Vận dụng 2 trang 52 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

- Quan sát thấy hai vectơ vận tốc cùng phương (vì làn lên và làn xuống song song) và ngược hướng (một làn đi lên và một làn đi xuống). Thông thường thì làn lên và làn xuống có cùng tốc độ di chuyển nên độ lớn của hai vectơ vận tốc bằng nhau. Vì vậy hai vectơ vận tốc là hai vectơ đối nhau.

3. Tích của một số với một vectơ trong không gian

Hoạt động 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17).

a) Hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{B^{'} C^{'}}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?

b) Giải thích vì sao $|\vec{M N}| = \frac{1}{2} |\vec{B^{'} C^{'}}|$ .

HĐ6 trang 52 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

a) Vì là đường trung bình của tam giác nên .

Vì là hình bình hành nên .Suy ra: .

Do đó hai vectơ và có cùng phương và cùng hướng.

b) Vì là hình bình hành nên .

Vì là đường trung bình của tam giác nên

Suy ra:

Câu hỏi: Hai vectơ $1 \vec{a}$ và $\vec{a}$ có bằng nhau không? Hai vectơ (−1)a và $\vec{a}$ có bằng nhau không?

Trả lời:

+) Hai vectơ $1 \vec{a}$ và $\vec{a}$ có cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau.

+) Hai vectơ (−1)a và $- \vec{a}$ có cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau.

Luyện tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc cạnh SA, SB sao cho $S E = \frac{1}{3} S A; S F = \frac{1}{3} S B$ . Chứng minh rằng $\vec{E F} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ .

Trả lời:

Vì =>

Tam giác có: nên và

Vì hai vectơ và cùng hướng nên (1)

Vì là hình bình hành nên và . Do đó (2)

Từ (1) và (2) suy ra: .

Luyện tập 8: Trong ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD (H.2.19). Gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho $\vec{A I} = 3 \vec{I G}$ . Chứng minh rằng $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ .

Luyện tập 8 trang 54 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên với điểm I tùy ý, ta có:

$\vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = 3 \vec{I G}$ .

Do đó $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{I A} + 3 \vec{I G} = \vec{I A} + \vec{A I} = \vec{0}$ .

Vận dụng 3: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 km/h và 920 km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ . Hãy giải thích vì sao $\vec{F_{1}} = k \vec{F_{2}}$ với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Vận dụng 3 trang 54 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ và có cùng hướng. Do đó, với là một số thực dương nào đó (1).

Gọi lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900 km/h và 920 km/h.

Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên

=> (2)

Từ (1) và (2) suy ra: =>

4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Hoạt động 7: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Lấy điểm O và vẽ các vectơ $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ . Lấy điểm O' khác O và vẽ các vectơ $\vec{O^{'} A^{'}} = \vec{a}, \vec{O^{'} B^{'}} = \vec{b}$ (H.2.21).

a) Giải thích vì sao $\vec{A B} = \vec{A^{'} B^{'}}$ .

b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O'A'B' để giải thích vì sao $\hat{A O B} = \hat{A^{'} O^{'} B^{'}}$ .

HĐ7 trang 54 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

HĐ7 trang 54 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Câu hỏi: Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác $\vec{0}$ ), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian.

Trả lời:

Góc giữa hai vectơ cùng hướng (khác $\vec{0}$ ) là 0°.

Góc giữa hai vectơ ngược hướng là 180°.

Luyện tập 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' (H.2.25). Tính các góc $(\vec{A A^{'}}, \vec{B C})$ và $(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}})$ .

Luyện tập 9 trang 56 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Vì là lăng trụ tam giác đều nên là hình chữ nhật. Suy ra, . Do đó .

Vì là hình chữ nhật, suy ra . Do đó .

Vì tam giác là tam giác đều nên . Do đó,

Hoạt động 8: Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

Trả lời:

Công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng:

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

Luyện tập 10: Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng $\vec{A S} \cdot \vec{B D}$ và $\vec{A S} \cdot \vec{C D}$ .

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Gọi là giao điểm của hai đường chéo và trong hình vuông . Do đó, là trung điểm của , là trung điểm của .

Tứ giác là hình vuông cạnh , độ dài đường chéo là =>

Gọi là trung điểm của . Mà là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác , do đó và . Suy ra

Vì là trung điểm của nên

Tam giác có ba cạnh bằng nhau nên tam giác là tam giác đều nên là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác . Do đó,

nên vuông tại . Do đó

Tứ giác là hình vuông nên

Ta có:

Vì tam giác có ba cạnh bằng nhau nên tam giác đều, suy ra

Suy ra:

Luyện tập 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng $\vec{A^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = 0$

Trả lời:

Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Có $\vec{A^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = (\vec{A^{'} C^{'}} + \vec{C^{'} C}) \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = \vec{A^{'} C^{'}} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} + \vec{C^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}}$ .

Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C'⊥B'D' .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên $C C^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \Rightarrow C C^{'} ⊥ B^{'} D^{'}$ $\Rightarrow \vec{C^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = 0$ .

Do đó $\vec{A^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = \vec{A^{'} C^{'}} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} + \vec{C^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = 0$ .

Vậy $\vec{A^{'} C} \cdot \vec{B^{'} D^{'}} = 0$ .

Vận dụng 4: Như đã biết, nếu có một lực $\vec{F}$ tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức $A = \vec{F} . \vec{M N}$ , trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.

Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

Vận dụng 4 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Ta có:

Vì lực có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên lớn nhất khi lớn nhất. Do đó . Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.

Bài tập

Bài 2.1: Trong không gian, cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ phân biệt và đều khác $\vec{0}$ . Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

b) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều ngược hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều ngược hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

Trả lời:

Các câu đúng là:

a) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

b) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều ngược hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Bài 2.2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3 và AA' = 4. Tính độ dài của các vectơ $\vec{B B^{'}}, \vec{B D}$ và $\vec{B D^{'}}$ .

Trả lời:

Vì là hình chữ nhật nên =>

Vì tứ giác là hình chữ nhật nên tam giác vuông tại .

Do đó, (định lý Pythagore), suy ra: . Vì là hình chữ nhật nên vuông tại .

Theo định lí Pythagore ta có: =>

Bài 2.3: Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ $\vec{a}$ ) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ ).

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ và $\vec{e}$ .

b) Giải thích vì sao các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ đôi một bằng nhau.

Bài 2.3 trang 58 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

a) Các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ và $\vec{e}$ đều cùng phương với nhau.

Các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ đều ngược hướng với $\vec{a}$ nên các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ cùng hướng với nhau.

b) Do trọng lực phân tán đều qua các chân bàn nên các phản lực có độ lớn như nhau.

Suy ra các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ có độ dài bằng nhau hơn nữa $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ cùng hướng với nhau nên các vectơ $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ đôi một bằng nhau.

Bài 2.4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A B} + \vec{D D^{'}} + \vec{C^{'} D^{'}} = \vec{C C^{'}}$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{C D^{'}} - \vec{C C^{'}} = \vec{0}$ ;

c) $\vec{B C} - \vec{C C^{'}} + \vec{D C} = \vec{A^{'} C}$ .

Trả lời:

a) Vì là hình bình hành nên .

Vì là hình bình hành nên ,

Ta có: .

b) Ta có:

c) Vì là hình bình hành nên

Vì là hình bình hành nên

Bài 2.5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}$ và $\vec{A C} = \vec{c}$ . Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ :

a) $\vec{A B^{'}}$ ; b) $\vec{B^{'} C}$ ; c) $\vec{B C^{'}}$ .

Trả lời:

Bài 2.5 trang 58 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

a) Vì ABB'A' là hình bình hành nên $\vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}}$ .

$\vec{A B^{'}}$ $= \vec{A B} + \vec{B B^{'}} = \vec{b} + \vec{a}$ .

b) $\vec{B^{'} C} = \vec{B^{'} B} + \vec{B C} = - \vec{B B^{'}} + \vec{B A} + \vec{A C} = - \vec{B B^{'}} - \vec{A B} + \vec{A C} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} .$

c) $\vec{B C^{'}} = \vec{B C} + \vec{C C^{'}} = \vec{A C} - \vec{A B} + \vec{A A^{'}} = \vec{c} - \vec{b} + \vec{a}$ .

Bài 2.6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Trả lời:

Gọi là tâm hình bình hành . Khi đó, là trung điểm của .

Suy ra,

Ta có:

Do đó:

Ta có:

Suy ra, hai vectơ và cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, . Khi đó, tứ giác là hình bình hành.

Bài 2.7: Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN = 2BN. Chứng minh rằng $\vec{M N} = \frac{1}{3} (\vec{S A} + \vec{B C}) + \vec{A B}$ .

Trả lời:

Bài 2.7 trang 58 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Ta có $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A B} + \vec{B N}$ (1).

Vì SM = 2AM nên $\vec{M A} = \frac{1}{3} \vec{S A}$ ; CN = 2BN nên $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ (2).

Từ (1), (2), ta có $\vec{M N} = \frac{1}{3} (\vec{S A} + \vec{B C}) + \vec{A B}$ .

Bài 2.8: Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn $\vec{A I} = 3 \vec{I G}$ , ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).

Bài 2.8 trang 58 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Đặt tên khối rubik là tứ diện đều có là trọng tâm của tam giác , là trọng tâm của tứ diện . Do đó, =>

Vì chiều cao của rubik bằng 8 cm nên cm => (cm)

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó bằng 2 cm.

Bài 2.9: Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Trả lời:

Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Giả sử lực kéo trên mỗi sợi dây được biểu diễn bởi các vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ với O là đầu chung của ba sợi dây. Khi ba sợi dây cân bằng thì $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ .

Vẽ hình bình hành OADB.

Theo quy tắc hình bình hành thì $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O D}$ .

Do đó $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{O D} + \vec{O C} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{O C} = - \vec{O D}$ .

Hay O là trung điểm của CD.

Do đó các điểm O, A, B, C cùng thuộc mặt phẳng (ABCD).

Suy ra ba sợi dây cùng nằm trong mặt phẳng đó.

Bài 2.10: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) $\vec{A A^{'}}$ và $\vec{C^{'} C}$ ; b) $\vec{A A^{'}}$ và $\vec{B C}$ ; c) $\vec{A C}$ và $\vec{B^{'} A^{'}}$ .

Trả lời:

a) Vì nên hai vectơ và ngược hướng nhau.

Suy ra,

Do đó, .

b) Vì là hình chữ nhật nên

Vì là hình vuông nên .

Do đó,

Ta có:

c) Vì là hình chữ nhật nên .

Vì là hình vuông và

Ta có:

Bài 2.11: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45°, hãy tính:

a) $\vec{a} . \vec{b}$ ; b) $(\vec{a} + 3 \vec{b}) . (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ; c) ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2}$ .

Trả lời:

a) $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) = 1.1. \cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) $(\vec{a} + 3 \vec{b}) . (\vec{a} - 2 \vec{b})$ $= {\vec{a}}^{2} + \vec{a} . \vec{b} - 6 {\vec{b}}^{2}$ $= 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 6.1 = - 5 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

c) ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = 1 + 2. \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 2 + \sqrt{2}$ .

Bài 2.12: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng

a) $\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A C} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{D C}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C} = 0$ .

Trả lời:

a. Ta có:

b. Ta có: