Giải SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương II

A. Trắc nghiệm

Bài 2.25: Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{0}$ .                      B.  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.

C. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BG}$ .                          D. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ .

Đáp án: D

Giải thích:

+) Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ .

Do đó đáp án A đúng.

+) Có  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{AG}$

Vì $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ . Do đó đáp án B đúng.

+) Có $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{BG}$.

Vì $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=-\overrightarrow{GB}$.

Do đó đáp án C đúng.

Bài 2.26: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC'. Vectơ $\overrightarrow{AM}$ bằng

A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .                             B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .

C. $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .                       D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .

Đáp án: B

Giải thích:

Vì  là trung điểm của đoạn thẳng  nên 

Bài 2.27: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ .                            B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ .

C. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$.                            D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Đáp án: D

Giải thích:

+) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Do đó đáp án B đúng.

+) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$(vì $\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$).

Do đó đáp án A đúng.

+) $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ (vì $\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$ ).

Bài 2.28: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}$ bằng

A. $\frac{a^2}{4}$ .                   B. $\frac{a^2}{2}$ .                    C. $\frac{a^2}{3}$ .                   D. $a^2$ .

Đáp án: B

Giải thích:

Tam giác  có ba cạnh bằng  nên tam giác  đều,  là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên .

Áp dụng định côsin vào tam giác , ta có:

Bài 2.29: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;2\right)$ ,$\overrightarrow{b}=\left(-2;0;3\right)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(-1;-2;5\right)$ .                           B. $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(3;-2;-1\right)$.

C. $3\overrightarrow{a}=\left(3;-2;2\right)$ .                                 D. $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(0;-4;7\right)$.

Đáp án: C

Giải thích:

Bài 2.30: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A(−1; 0; 3), B(2; 1; −1) và C(3; 2; 2). Tọa độ của điểm D là:

A. $\left(2;-1;0\right)$ .                                        B. $\left(0;-1;-6\right)$ .

C. $\left(0;1;6\right)$.                                           D. $\left(-2;1;0\right)$.

Đáp án: C

Ta có: . 

Gọi tọa độ của điểm  là  thì

Vì  là hình bình hành nên .

Do đó tọa độ của điểm  là .

Bài 2.31: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; −1), B(0; −1; 2) và G(2; 1; 0). Biết tam giác ABC có trọng tâm là điểm G. Tọa độ của điểm C là

A. $\left(5;4;-1\right)$.                                        B. $\left(-5;-4;1\right)$ .

C. $\left(1;2;-1\right)$ .                                         D. $\left(-1;-2;1\right)$ .

Đáp án: A

Giải thích:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\{\begin{array}{c}{x}_C=3.2-1-0\\ y_C=3.1-0+1\\ z_C=3.0+1-2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}{x}_C=5\\ y_C=4\\ z_C=-1\end{array}$.

Vậy C(5; 4; −1).

Bài 2.32: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-3\right)$ ,$\overrightarrow{b}=\left(-2;-1;2\right)$. Tích vô hướng bằng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

A. −2.                    B. −11.                  C. 11.                    D. 2.

Đáp án: B

Giải thích:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.\left(-2\right)+1.\left(-1\right)+\left(-3\right).2=-11$.

Bài 2.33: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(0;-1;1\right)$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng

 A. 60°.                  B. 135°.                 C. 120°.                 D. 45°.

Đáp án: B

Giải thích:

 => .

Bài 2.34: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-2;2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng

A. $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.              B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.                C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.                  D. $\frac{-\sqrt{2}}{3}$.

Đáp án: A

Giải thích:

Có $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{\left(-2\right).1+2.\left(-1\right)+2.\left(-2\right)}{\sqrt{4+4+4}.\sqrt{1+1+4}}=\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.

B. Tự luận

Bài 2.35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Trả lời:

Gọi  là tâm hình chữ nhật . Khi đó,  là trung điểm của .

Suy ra ,

Ta có:

.

Vậy .

Bài 2.36: Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$và $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$ . Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$  theo $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ .

Trả lời:

Có $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$;

$\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$$\iff 2\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}$

Có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$$\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DN}$ (1)

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$(2)

Cộng từng vế (1) và (2), ta được $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{DN}$

$\iff 3\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}\right)+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AD}+\left(\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{DN}\right)$

$\iff 3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AD}$

$\iff \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

Bài 2.37: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác BDA'.

a) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ .

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng.

Trả lời:

a) Gọi  là giao điểm của  và . 

Vì tứ giác  là hình bình hành nên  là trung điểm của . Do đó,  là đường trung tuyến của tam giác . Mà  là trọng tâm của tam giác  nên . Vì  là trung điểm của  nên:

 .

Do đó  

Ta có:

b) Vì  là hình hộp nên

Do đó,  nên hai vectơ  và  cùng phương. Vậy ba điểm ,  và  thẳng hàng.

Bài 2.38: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; −1; 3), B(1; 1; −1) và C(−1; 0; 2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Trả lời:

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{2+1-1}{3}\\ y_G=\frac{-1+1+0}{3}\\ z_G=\frac{3-1+2}{3}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{2}{3}\\ y_G=0\\ z_G=\frac{4}{3}\end{array}$

Vậy $G\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right)$.

b) Vì M thuộc Oz nên M(0; 0; z).

Khi đó $\overrightarrow{BM}=\left(-1;-1;z+1\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(-3;1;-1\right)$.

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0$

$\iff \left(-1\right).\left(-3\right)+\left(-1\right).1+\left(z+1\right).\left(-1\right)=0$

$\iff z=1$

Vậy M(0; 0; 1).

Bài 2.39: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' có A(2; 3; 1), C(−1; 2; 3) và O'(1; −2; 2). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Trả lời:

Ta có:

Vì  là hình hộp nên 

 là hình bình hành =>  =>

 là hình hộp nên 

 =>  

Bài 2.40: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;2\right)$,$\overrightarrow{b}=\left(1;1;-1\right)$

a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.

b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$.

c) Tính $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ .

Trả lời:

a) Có $2\overrightarrow{b}=\left(2;2;-2\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=\left(-2-2;1-2;2+2\right)=\left(-4;-1;4\right)$.

b) $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{16+1+16}=\sqrt{33}$ .

c) $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{\left(-2\right).1+1.1+2.\left(-1\right)}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{1+1+1}}=\frac{-\sqrt{3}}{3}$ .

Bài 2.41: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4; 2; −1), B(1; −1; 2) và C(0; −2; 3).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$ .

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Trả lời:

a. .

b. Gọi  thì .

Vì . Do đó .

c. Vì  thuộc mặt phẳng  nên tọa độ điểm  là .

Ta có: ;

Để , B,  thẳng hàng thì hai vectơ ,  cùng phương. Do đó,  (với  là số thực bất kì).

Suy ra, . Vậy .

Bài 2.42: Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.

a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Trả lời:

a)

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ trên sao cho O là góc nhà phía trên trần nhà (điểm giao của hai bức tường và trần nhà) và trục Ox là giao của bức tường bên trái với trần nhà; trục Oy là điểm giao của bức tường bên phải với trần nhà; trục Oz là giao của hai bức tường; đơn vị trên mỗi trục đều là mét.

Tọa độ bóng đèn lúc đầu là A (1,2; 1,6; 0,5).

Tọa độ bóng đèn lúc sau là B (1,5; 1,5; 0,4).

b) Có $\overrightarrow{AB}=\left(\mathrm{0,3};-\mathrm{0,1};-\mathrm{0,1}\right)$ .

Khi đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\mathrm{0,3}}^2+{\left(-\mathrm{0,1}\right)}^2+{\left(-\mathrm{0,1}\right)}^2}\approx \mathrm{0,3}$.

Vậy vị trí mới cách vị trí ban đầu của bóng đèn là 0,3 m.