Giải SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Mở đầu: Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 45 (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là y = $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$. Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số y = f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?

Trả lời:

Có $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+45}{x}$

Có $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-45}{x^2}<\mathrm{0,}\forall x\ge 1$ nên hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là hàm số giảm.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+45}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{45}{x}}{1}=2$

Do đó chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.

Điều này được thể hiện trong Hình 1.27 là đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 và đi xuống trong khoảng (0; +∞).

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Hoạt động 1: Cho hàm số y = x2 – 4x + 3. Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính y' và tìm các điểm tại đó y' = 0.

b) Xét dấu y' để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

c) Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }y,\underset{x\to +\infty }{\lim }y$ và lập bảng biến thiên của hàm số.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Trả lời:

a) Tập xác định: .

Ta có: ;  (thỏa mãn)

Vậy  tại điểm .

b) Trên khoảng ,  nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng ,  nên hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu . Hàm số không có cực đại.

c) 

Lập bảng thiên:

d) Ta có đồ thị của hàm số:

Đồ thị giao với trục tung tại điểm có tọa độ là .

Ta có: . Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm  và .

Xét điểm  thuộc đồ thị hàm số, do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng  làm trục đối xứng.

2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba

Luyện tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −2x3 + 3x2 – 5x.

Trả lời:

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên:

- Ta có: y' = −6x2 + 6x – 5 = $-6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{7}{2}<0$ với mọi x ∈ ℝ.

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞).

- Hàm số không có cực trị.

- Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-2x^3+3x^2-5x\right)=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-2x^3+3x^2-5x\right)=-\infty$

- Bảng biến thiên

3. Đồ thị

- Ta có y = 0 ⇔ −2x3 + 3x2 – 5x = 0 ⇔ x = 0.

Đồ thị hàm số giao với trục hoành và trục tung tại (0; 0).

- Đồ thị có tâm đối xứng là $\left(\frac{1}{2};-2\right)$

3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ

Luyện tập 2: Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với x ≥ 1.

Trả lời:

Ta có: 

Với  nên hàm số  là hàm số giảm.

Ta có: 

Vậy nên chi phí trung bình giảm theo  nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.

Điều này thể hiện trên Hình 1.27 là đồ thị hàm số  có một tiệm cận ngang là đường thẳng  và đi xuống trong khoảng .

Vận dụng: Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.

b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với t ≥ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo y nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Trả lời:

a) Thể tích nước có trong bể sau t phút là: V(t) = 200 + 40t (lít).

Khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút là: M(t) = 20t (gam).

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: $\frac{20t}{200+40t}$(gam/lít).

b) $y=f\left(t\right)=\frac{20t}{200+40t}\left(t\ge 0\right)$.

1. Tập xác định của hàm số là D = [0; +∞).

2. Sự biến thiên

- Ta có $y^{\prime }=\frac{20\left(200+40t\right)-20t.40}{{\left(200+40t\right)}^2}=\frac{4000}{{\left(200+40t\right)}^2}>0$ với mọi t ∈ D.

- Hàm số luôn đồng biến trên [0; +∞).

- Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

$\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{20t}{200+40t}=\frac{1}{2}$. Do đó $y=\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{20t}{200+40t}=0$

- Bảng biến thiên

3. Đồ thị.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(1;\frac{1}{12}\right);\left(2;\frac{1}{7}\right)$.

c) Vì $y^{\prime }=\frac{4000}{{\left(200+40t\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall t\ge 0$ và $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{20t}{200+40t}=\frac{1}{2}$ nên nồng độ chất khử trùng tăng theo thời gian nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Luyện tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$.

Trả lời:

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:

Có

 với .

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: 

;

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

;

Vậy hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng .

;

Vậy hàm số có một tiệm cận xiên là đường thẳng .

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là  và
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm có tọa độ  của hia đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài tập

Bài 1.21: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x3 + 3x + 1;                           b) y = x3 + 3x2 – x – 1.

Trả lời:

a) y = −x3 + 3x + 1

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên

+) y' = −3x2 + 3; y' = 0 ⇔ −3x2 + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −1.

+) Trên khoảng (−1; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu yCT = −1. Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại yCĐ = 3.

+) Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }-x^3\left(1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)=-\infty$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }-x^3\left(1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)=+\infty$

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; −1); (1; 3).

+) Đồ thị có tâm đối xứng là (0; 1).

b) y = x3 + 3x2 – x – 1

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên

+) y' = 3x2 + 6x – 1; y' = 0 ⇔ 3x2 + 6x – 1 = 0 ⇔ $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$.

+) Trên khoảng $\left(\frac{-3-2\sqrt{3}}{3};\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\right)$, y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(\frac{-3+2\sqrt{3}}{3};+\infty \right)$, y' > 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$ và đạt cực tiểu tại $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$.

+) Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)=+\infty ;$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)=-\infty$

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao Oy tại (0; −1).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−2; 5); (1; 2).

+) Đồ thị có tâm đối xứng là (−1; 2).

Bài 1.22: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{x+1}$;                                     b) $y=\frac{x+3}{1-x}$.

Trả lời:

a)

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:  với .

Hàm số đồng biến trên khoảng  và .

Hàm số không có cực trị.

; .

; .

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng  làm tiệm cận đứng và đường thẳng

 làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là .

Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b)  

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:

 với 

Hàm số đồng biến trên khoảng  và .

Hàm số không có cực trị.

; 

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng  làm tiệm cận đứng và đường thẳng  làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là 

Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.23: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$;                             b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$.

Trả lời:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

Có $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}=2x+1+\frac{5}{x-1}$

+) Có $y^{\prime }=2-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2};y^{\prime }=0\iff 2-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2}=0\iff x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$hoặc $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$.

+) Trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right)$ và $\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2};+\infty \right)$, có y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng $\left(\frac{2-\sqrt{10}}{2};1\right)$ và $\left(1;\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)$, có y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

+) Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ và đạt cực tiểu tại $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$.

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=-\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=+\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x-1}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x-1}=0$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = 2x +1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; −4).

+) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{−3}.

2. Sự biến thiên

Có $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}=x-1+\frac{4}{x+3}$

+) Có $y^{\prime }=1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2};y^{\prime }=0\iff 1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}=0\iff {\left(x+3\right)}^2=4\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=-5\end{array}$

+) Trên các khoảng (−∞; −5) và (−1; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng (−5; −3) và (−3; −1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

+) Hàm số đạt cực đại tại x = −5 với yCĐ = −8; hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 với yCT = 0.

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}=+\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{x+3}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x+3}=0$

Do đó x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là $\left(0;\frac{1}{3}\right)$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (−1; 0).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−3; −4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.24: Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi C(x) là hàm số xác định với x ≥ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Trả lời:

a) Tổng khối lượng KOH sau khi trộn là:  (mg)

Tổng thể tích dung dịch sau khi trộn là:  (ml)

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn là:  (mg/ml)

b)   

1. Tập xác định: .

2. Sự biến thiên:

Ta có:  với .

Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng .

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

Vậy hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng .

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Hàm số giao với trục  tại điểm .

Hàm số đi qua các điểm  và .

c) Vì  với  và  nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo  nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Bài 1.25: Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R1 và R2 thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8 Ω được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu biến trở đó được kí hiệu x (Ω) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số y = R(x), x > 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng?

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω.

Trả lời:

Ta có $y=R\left(x\right)=\frac{8x}{8+x},x>0$

1. Tập xác định D = (0; +∞).

2. Sự biến thiên

+) Có $y^{\prime }=\frac{8\left(8+x\right)-8x}{{\left(8+x\right)}^2}=\frac{64}{{\left(8+x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x>0$

+) Hàm số luôn đồng biến trên (0; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8}{\frac{8}{x}+1}=8$

Vậy y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với Ox, Oy tại (0; 0).

+) Đồ thị hàm số đi qua $\left(1;\frac{8}{9}\right);\left(2;\frac{8}{5}\right)$

a) Vì $y^{\prime }=\frac{64}{{\left(8+x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x>0$ nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.

b) Vì $y^{\prime }=\frac{64}{{\left(8+x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x>0$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=8$ nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω.