Mở đầu: Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?
Trả lời:
Gọi x (x > 0) là số lần giảm giá vé. Khi đó giá vé sau khi giảm là 100 – 10x (nghìn đồng).
Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 3000x khán giả.
Do đó tổng số khán giả đến xem là 27000 + 3000x.
Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên 27000 + 3000x ≤ 55 000
Doanh thu từ tiền bán vé là:
y = (27000 + 3000x).(100 – 10x) = −30 000x2 + 30 000x + 2 700 000.
Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
y = −30 000x2 + 30 000x + 2 700 000, x > 0.
Tập xác định D = (0; +∞).
Có y' = −60 000x + 30 000; y' = 0 .
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng thì doanh thu tiền bán vé là lớn nhất.
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
Luyện tập 1: Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu P (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số trong đó thời gian t được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.
Trả lời:
Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 
giây là:
=>
Vậy tốc độ thay đổi của huyết áp sau 
giây kể từ khi máu rời tim là giảm 
.
2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản
Luyện tập 2: Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).
Trả lời:
Gọi độ dài đoạn CD là x (km, 0 ≤ x ≤ 8).
Khi đó độ dài quãng đường AD là (km).
Thời gian đi hết quãng đường AD là:
Độ dài quãng đường BD là 8 – x (km).
Thời gian đi hết quãng đường BD là: (h).
Thời gian người đó đi đến B bằng cách chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B là
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Có ;
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy anh An phải chèo thuyền đến điểm D cách C một đoạn km thì sẽ đến B sớm nhất.
Vận dụng: Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
a) Tìm hàm cầu.
b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?
c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là C(x) = 12000 – 3x (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?
Trả lời:
a) Gọi 
(triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, 
là số ti vi. Khi đó ta cần xác định hàm cầu 
.
Theo giả thiết tốc độ thay đổi của 
tỉ lệ với tốc độ thay đổi của 
. Do đó hàm số 
là hàm số bậc nhất và 
.
Ta có: 
thì 
; 
thì
Khi đó phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm 
và 
nên ta có hệ phương trình:
Vậy 
.
b) Vì 
nên 
.
Khi đó, tổng doanh thu từ tiền bán ti vi là:
Ta có: 
;
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy công ty giảm giá 4,5 triệu đồng cho người mua thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.
c) Doanh thu từ bán 
ti vi là:
Tổng lợi nhuận từ bán 
ti vi là:
Ta có: 
;
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số ti vi bán ra trong 1 tuần là 2200 chiếc thì lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, tức mỗi tuần bán thêm 1200 chiếc thì số tiền phải giảm giá là: 
(nghìn đồng).
Vậy phải để giá bán là 14 - 6 = 8 (triệu đồng).
Bài tập
Bài 1.26: Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là y = t3 – 12t + 3, t ≥ 0.
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới.
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 3.
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?
Trả lời:
a) Hàm vận tốc là v(t) = y' = 3t2 – 12, t ≥ 0.
Hàm gia tốc là a(t) = v'(t) = 6t, t ≥ 0.
b) Hạt chuyển động lên trên khi v(t) > 0 ⇔ 3t2 – 12 > 0 ⇔ t > 2 (do t ≥ 0).
Hạt chuyển động xuống dưới khi v(t) < 0 ⇔ 3t2 – 12 < 0 ⇔ 0 ≤ t < 2 (do t ≥ 0).
Từ đó ta có kết luận: Vật chuyển động lên trên khi t ∈ (2;+∞) và chuyển động xuống dưới khi t ∈ [0;2).
c) Từ t = 0 đến t = 2, vật chuyển động từ toạ độ y = 3 đến toạ độ y = -13, tức là vật đi được quãng đường 16 đơn vị độ dài.
Từ t = 2 đến t = 3, vật chuyển động từ toạ độ y = -13 đến toạ độ y = -6 , tức là vật đi được quãng đường 7 đơn vị độ dài.
Do đó, trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 3 vật đi được quãng đường 23 đơn vị độ dài, tức là quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 3 là 23 m.
d) Hạt tăng tốc khi a > 0, hạt giảm tốc khi a < 0.
Mà a = 6t, ∀t ≥ 0 nên hạt luôn tăng tốc.
Bài 1.27: Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là: C(x) = 23000 + 50x – 0,5x2 + 0,00175x3.
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm C'(100) và giải thích ý nghĩa của nó.
c) So sánh C'(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.
Trả lời:
a) Ta có hàm chi phí biên:
b) 
(trăm nghìn đồng)
Chi phí biên tại 
là 
đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm 1 đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn vị hàng hóa thứ 101) là khoảng 
đồng.
c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 là:
(trăm nghìn đồng)
Vậy chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 này xấp xỉ với chi phí biên C'(100).
Bài 1.28: Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Trả lời:
Gọi x là số lần tăng giá (0 < x < 100).
Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là 100 – x (căn).
Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là: 8 000 000 + 100 000x.
Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:
y = (8 000 000 + 100 000x)(100 – x)
= 800 000 000 – 8 000 000x + 10 000 000x – 100 000x2
= 800 000 000 + 2 000 000x – 100 000x2
Bài toán trở thành tìm x để y lớn nhất
Ta có y' = −200 000x + 2 000 000; y' = 0 ⇔ x = 10.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá thuê căn hộ là 8 000 000 + 100 000.10 = 9 000 000 (đồng).
Bài 1.29: Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức , trong đó p là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và x là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.
a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số x = x(p). Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
- Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán p tăng;
- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn .
Trả lời:
a) Ta có:
Vì 
nên
Tập xác định: 
.
Số sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng là:
b)
1. Tập xác định: 
.
2. Sự biến thiên:
Ta có: 
với
Hàm số luôn nghịch biến với 
.
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: 
.
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là 
.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm 
và đi qua các điểm 
và 
.
Số lượng đơn vị sản phẩm bán sẽ giảm đi khi giá bán tăng và sẽ không bán được sản phẩm nào nếu giá bán là 
nghìn đồng.
Ý nghĩa thực tiễn của 
: Vì 
nên giá bán càng thấp thì số lượng đơn vị sản phẩm sẽ bán được càng nhiều.