Giải SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương I

A. Trắc nghiệm

Bài 1.30: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b).

B. Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b).

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b).

D. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b).

Đáp án: B

Giải thích: Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b).

Bài 1.31: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ℝ.

A. y = −x3 + 3x2 – 9x.                       B. y = −x3 + x + 1.

C. $y=\frac{x-1}{x-2}$                                     D. y = 2x2 + 3x + 2.

Đáp án: A

Giải thích: 

Xét hàm số y = −x3 + 3x2 – 9x.

Có y' = −3x2 +6x – 9 =−3(x2 – 2x + 3) = −3(x −1)2 – 6 < 0 với mọi x thuộc ℝ.

Do đó hàm số y = −x3 + 3x2 – 9x nghịch biến trên ℝ.

Bài 1.32: Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. y = |x|.

B. y = x4.

C. y = −x3 + x.

D. $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

Đáp án: D

Giải thích: 

Xét hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$

Có $y^{\prime }=\frac{2\left(x+1\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne -1$

Do đó hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ không có cực trị.

Bài 1.33: Giá trị cực tiểu của hàm số y = x2lnx là

A. $\frac{1}{e}$.                    B. -$\frac{1}{e}$.                  C. -$\frac{1}{2e}$.                D. $\frac{1}{2e}$.

Đáp án: C

Giải thích: 

Tập xác định là D = (0; +∞).

Có y' = 2xlnx + x = x(2lnx + 1).

Có y' = 0 $\iff 2\ln x+1=0\iff x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ (do x > 0).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực tiểu của hàm số là $-\frac{1}{2e}$.

Bài 1.34: Giá trị lớn nhất của hàm số y = (x – 2)2ex trên đoạn [1; 3] là

A. 0.                     B. e3.                    C. e4.                    D. e.

Đáp án: B

Giải thích: 

Có y' = 2(x – 2)ex + (x – 2)2ex = x(x – 2)ex.

Có y' = 0 ⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x = 0 (loại) hoặc x = 2 (thỏa mãn).

Có y(1) = e; y(2) = 0; y(3) = e3.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là e3 khi x = 3.

Bài 1.35: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1;\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1;\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

B. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

C. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

D. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án: B

Giải thích: 

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1;\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Bài 1.36: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-2}{x+2}$ là

A. y = −2.             B. y = 1.               C. y = x + 2.         D. y = x.

Đáp án: D

Giải thích: 

Có $y=\frac{x^2+2x-2}{x+2}=x-\frac{2}{x+2}$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2}{x+2}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2}{x+2}=0$

Do đó y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 1.37: Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ\{1; 3}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

B. Đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

C. Đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

D. Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án: D

Giải thích:

Vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-1;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=7$ nên x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 1.38: Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số:

A. $y=\frac{x+2}{x+1}$.                    B. $y=\frac{2x+1}{x+1}$.      

C. $y=\frac{x-1}{x+1}$.                    D. $y=\frac{x+3}{1-x}$.

Đáp án: B

Giải thích:

Dựa vào đồ thị ta thấy y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$

Do đó y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$

Bài 1.39: Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:

A. $y=x-\frac{1}{x+1}$.                B. $y=\frac{2x+1}{x+1}$.      

C. $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}$.              D. $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

Đáp án: D

Giải thích:

+) Đồ thị ở Hình 1.38 có dạng $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}\left(a\ne 0;p\ne 0\right)$ và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu nên loại đáp án B.

+) Vì đồ thị hàm số đi qua (−2; −3)  nên loại đáp án C.

+) Vì đồ thị hàm số đi qua (0; 1) nên loại đáp án A.

+) Xét hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$.

Có $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{x+1}=-\infty$; $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{x+1}=+\infty$

Do đó x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0$

Do đó y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

B. Tự luận

Bài 1.40: Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2 + 3x – 1;

b) y = x4 – 2x2 – 1;

c) $y=\frac{2x-1}{3x+1}$;                                     d) $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

Trả lời:

a) Tập xác định: .

Ta có: ;

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

Hàm số không có điểm cực trị.

b) Tập xác định: .

Ta có: ;  hoặc

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Hàm số đạt cực đại tại  và .

Hàm số đạt cực tiểu tại ;  và .

c) Tập xác định: .

Ta có:  với

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

Hàm số không có cực trị.

d) Tập xác định: .

Ta có: ;

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Hàm số đạt cực đại tại  và .

Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

Bài 1.41: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{3x-2}$trên nửa khoảng [2; +∞);

b) $y=\sqrt{2-x^2}$.

Trả lời:

a) $y=\frac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng [2; +∞)

Có $y^{\prime }=\frac{2\left(3x-2\right)-3\left(2x+1\right)}{{\left(3x-2\right)}^2}=\frac{-7}{{\left(3x-2\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\in \left[2;+\infty \right)$

Do đó $\underset{\left[2;+\infty \right)}{\max }y=y\left(2\right)=\frac{5}{4}$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng [2; +∞).

b) Tập xác định $D=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

Có $y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}$; y' = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn).

Có $y\left(-\sqrt{2}\right)=0;y\left(0\right)=\sqrt{2};y\left(\sqrt{2}\right)=0$

Vậy $\underset{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\max }y=y\left(0\right)=\sqrt{2};$ $\underset{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\min }y=y\left(-\sqrt{2}\right)=y\left(\sqrt{2}\right)=0$

Bài 1.42: Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{3x-2}{x+1}$;                                     b) $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$.

Trả lời:

a) Tập xác định: .

;

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là .

;

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là .

b) Ta có:

Tập xác định:

;

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

;

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là .

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận xiên là .

Bài 1.43: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x3 + 6x2 – 9x + 12;

b) $y=\frac{2x-1}{x+1};$

c) $y=\frac{x^2-2x}{x-1}$

Trả lời:

a) y = −x3 + 6x2 – 9x + 12

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

+) Có y' = −3x2 + 12x – 9; y' = 0 ⇔ −3x2 + 12x – 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

+) Trên khoảng (1; 3), y' > 0 nên hàm số đồng biến

Trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = 8; Hàm số đạt cực đại tại x = 3 và yCĐ = 12.

+) Giới hạn tại vô cực: 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^3+6x^2-9x+12\right)=+\infty ;$ $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-x^3+6x^2-9x+12\right)=-\infty$

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 12).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 8); (3; 12).

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(2; 10).

b) $y=\frac{2x-1}{x+1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

+) $y^{\prime }=\frac{2\left(x+1\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne -1$

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=-\infty$

Do đó x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2;$ $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$

Do đó y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là (0; −1).

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là $\left(\frac{1}{2};0\right)$

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

c) $y=\frac{x^2-2x}{x-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

$y=\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$

+) Có $y^{\prime }=1+\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne 1$

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x-1}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1}{x-1}=0$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại (0; 0).

+) Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại (0; 0); (2; 0).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Bài 1.44: Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$.

a) Viết công thức tính q = g(p) như một hàm số của biến p ∈ (f; +∞).

b) Tính các giới hạn $\underset{p\to +\infty }{\lim }g\left(p\right);\underset{p\to f^{+}}{\lim }g\left(p\right)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số q = g(p) trên khoảng (f; +∞).

Trả lời:

a) Ta có:

Do đó  với .

b) ;

Ý nghĩa là khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

 là khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự  thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính càng lớn.

c) Ta có:  với

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng .

Bài 1.45: Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: N(t) = 100e0,012t (N(t) được tính bằng triệu người, 0 ≤ t ≤ 50).

a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50].

c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Trả lời:

a) Dân số của quốc gia này vào năm 2030 (t = 7) là:

N(7) = 100e0,012.7 ≈ 108,763 triệu người.

Dân số của quốc gia này vào năm 2035 (t = 12) là:

N(12) = 100e0,012.12 ≈ 115,488 triệu người.

b) Ta có N'(t) = 100.0,012.e0,012t = 1,2. e0,012t > 0 với mọi t ∈ [0; 50].

Do đó hàm số N(t) luôn đồng biến trên đoạn [0; 50].

c) Ta có N'(t) = 1,2. e0,012t. Tốc độ tăng dân số là 1,6 triệu người/năm nếu

1,2. e0,012t = 1,6 ⇔ $e^{\mathrm{0,012}t}=\frac{4}{3}$ ⇔ t = $\frac{\ln \frac{4}{3}}{\mathrm{0,012}}\approx \mathrm{23,97}$.

Vậy vào khoảng năm 2047 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Bài 1.46: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Trả lời:

Gọi khoảng cách  là  (km).

Khi đó khoảng cách là:  (km)

Khoảng cách  là:  (km)

Khi đó chi phí lắp đặt dây điện là:  (triệu đồng)

Ta có: ;

Ta có: ; ;

Do đó chi phí nhỏ nhất để lắp dây điện là 460 triệu đồng khi M cách B một đoạn 3 km trên đoạn AB.