Giải SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 1: Định lí Pythagore

Khởi động: Hãy so sánh diện tích hình vuông màu xanh với tổng diện tích của hai hình vuông màu đỏ và màu vàng.

Lời giải:

- Hình vuông màu xanh có diện tích là: 52 = 25 (đơn vị diện tích).

- Hình vuông màu đỏ có diện tích là: 42 = 16 (đơn vị diện tích).

- Hình vuông màu vàng có diện tích là: 32 = 9 (đơn vị diện tích).

- Tổng diện tích của hai hình vuông màu đỏ và màu vàng là: 16 + 9 = 25 (đơn vị diện tích).

=> Vậy diện tích hình vuông màu xanh bằng tổng diện tích của hai hình vuông màu đỏ và màu vàng.

1. Định lý Pythagore

Khám phá 1: Cho một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c.

‒ Lấy một tờ bìa lớn, cắt tám hình tam giác vuông bằng tam giác vuông đã cho và cắt hai hình vuông lớn cùng có cạnh bằng a + b.

‒ Đặt bốn tam giác vuông lên hình vuông thứ nhất như trong Hình 1a. Phần bìa không bị che lấp gồm hai hình vuông có cạnh lần lượt là a và b. Tính diện tích phần bìa đó theo a và b.

‒ Đặt bốn tam giác vuông còn lại lên hình vuông thứ hai như trong Hình 1b. Phần bìa không bị che lấp là hình vuông có cạnh là c. Tính diện tích phần bìa đó theo c.

‒ Rút ra kết luận về quan hệ giữa a2 + b2 và c2.

Lời giải:

Thực hành 1: Tính độ dài cạnh EF, MN của các tam giác vuông trong Hình 3.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DEF vuông tại D ta có:

EF2=DF2+DE2=122+52=169

Vậy EF = 13 cm

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MNP vuông tại M ta có:

NP2=MN2+MP2 suy ra MN2=NP2−MP2=42−32=7

Vậy MN = 7–√ cm

Vận dụng 1: Một chiếc ti vi màn hình phẳng có chiều rộng và chiều dài đo được lần lượt là 72 cm và 120 cm. Tính độ dài đường chéo của màn hình chiếc ti vi đó theo đơn vị inch (biết 1 inch ≈ 2,54 cm).

Lời giải:

2. Định lý Pythagore đảo

Khám phá 2: Vẽ vào vở tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 5 cm, BC = 13 cm, rồi xác định số đo $\widehat{BAC}$ bằng thước đo góc

Lời giải:

Ta vẽ tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 5 cm, BC = 13 cm như sau:

• Vẽ đoạn thẳng AB = 12 cm;

• Vẽ cung tròn tâm A bán kính 5 cm và cung tròn tâm B bán kính 13 cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại một điểm, điểm này là điểm C.

Dùng thước đo góc (đặt thước như hình vẽ trên) ta xác định được ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=90°$.

Thực hành 2: Tìm tam giác vuông trong các tam giác sau:

a) Tam giác EFK có EF = 9 m, FK = 12 m, EK = 15 m.

b) Tam giác PQR có PQ = 17 cm, QR = 12 cm, PR = 10 cm.

c) Tam giác DEF có DE = 8 m, DF = 6 m, EF = 10 m.

Lời giải:

a) Ta có: 152=122+92 suy ra EK2=FK2+EF2. Vậy tam giác EFK vuông tại F

b) Ta có PQ là cạnh dài nhất và 172≠122+102, suy ra PQ2≠QR2+PR2. Vậy tam giác PQR không phải tam giác vuông

c) Ta có: 102=82+62 suy ra EF2=DE2+DF2. Vậy tam giác DEF vuông tại D

Vận dụng 2: 

a) Nam dự định làm một cái êke từ ba thanh nẹp gỗ. Nam đã có hai thanh làm hai cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Hỏi thanh nẹp còn lại Nam phải làm có độ dài bao nhiêu? (Giả sử các mối nối không đáng kể)

b) Một khung gỗ ABCD (Hình 6) được tạo thành từ 5 thanh nẹp có độ dài như sau: AB = CD = 36 cm; BC = AD = 48 cm; AC = 60 cm. Chứng minh rằng ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}ABC}}^{}$ và $\widehat{BAC}$ là các góc vuông.

Lời giải:

3. Vận dụng định lý Pythagore

Thực hành 3: Tính các độ dài PN và BC trong Hình 9.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P ta có:

OM2=OP2+MP2 suy ra OP2=OM2−MP2=252−72=576

Do đó OP = 24 cm

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OPN vuông tại P ta có:

ON2=OP2+PN2 suy ra PN2=ON2−OP2=302−242=324

Do đó PN = 18 cm

b)

Kẻ CH vuông góc với AB ta có: CH = AD = 4 cm, AH = CD = 7cm, HB = AB - AH = 10 - 7 = 3 (cm)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác CBH ta có:

BC2=CH2+HB2=42+32=25

Vậy BC = 5 cm

Vận dụng 3: Tính chiều dài cần cẩu AB trong Hình 10.

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A.

a) Tính độ dài cạnh BC nếu biết AB = 7 cm, AC = 24 cm.

b) Tính độ dài cạnh AB nếu biết AC = 2 cm, BC = $\sqrt{13}$ cm.

c) Tính độ dài cạnh AC nếu biết BC = 25 cm, AB = 15 cm.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252.

Vậy BC = 25 cm.

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2.

Suy ra AB2 = BC2 – AC2 = ${\left(\sqrt{13}\right)}^2$ – 22 = 13 – 4 = 9 = 32.

Vậy AB = 3 cm.

c) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2.

Suy ra: AC2 = BC2 – AB2 = 252 – 152 = 625 – 225 = 400 = 202.

Vậy AC = 20 cm.

Bài tập 2: Tính độ cao của con diều so với mặt đất (Hình 11).

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC ta có: AB2=AC2+BC2 suy ra AC2=AB2−BC2=502−252=1875

Do đó AC=253–√ (m)

Độ cao của con diều so với mặt đất là 253–√+1≈44.3 (m)

Bài tập 3: Lần lượt tính độ dài các cạnh huyền a, b, c, d của các tam giác vuông trong Hình 12. Hãy dự đoán kết quả của các cạnh huyền còn lại.

Lời giải:

Bài tập 4: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông trong các trường hợp sau:

a) AB = 8 cm, AC = 15 cm, BC = 17 cm;

b) AB = 29 cm, AC = 21 cm, BC = 20 cm;

c) AB = 12 cm, AC = 37 cm, BC = 35 cm.

Lời giải:

a) Ta có: 172 = 82 + 152. Suy ra BC2 = AB2 + AC2.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

b) Ta có 292 = 202 + 212. Suy ra AB2 = BC2 + AC2.

Vậy tam giác ABC vuông tại C.

c) Ta có 372 = 122 + 352. Suy ra AC2 = AB2 + BC2.

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Bài tập 5: Cho biết thang của một xe cứu hoả có chiều dài 13 m, chân thang cách mặt đất 3 m và cách tường của toà nhà 5 m. Tính chiều cao mà thang có thể vươn tới.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore ta có: AB2=AC2+BC2 suy ra AC2=AB2−BC2=132−52=144

Do đó AC = 12 cm

Chiều cao mà thang có thể vươn tới là: 12 + 3=15 (m)

Bài tập 6: Một con thuyền đang neo ở một điểm cách chân tháp hải đăng 180 m. Cho biết tháp hải đăng cao 25 m. Hãy tính khoảng cách từ thuyền đến ngọn hải đăng.

Lời giải: