Giải SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phân thức đại số

Khởi động: Một ô tô đi được quãng đường s (km) với tốc độ v (km/h) hết thời gian t (giờ). Hãy lập các biểu thức tính một trong ba đại lượng s, v và t theo hai đại lượng còn lại. Có phải tất cả các biểu thức đó đều là đa thức? Hãy giải thích.

Lời giải:

1. Phân thức đại số

Khám phá 1: 

a) Viết biểu thức biểu thị các đại lượng sau đây:

• Chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng 3 m2.

• Thời gian để một người thợ làm được x sản phẩm, biết rằng mỗi giờ người thợ đó làm được y sản phẩm.

• Năng suất trung bình của một mảnh ruộng gồm hai thửa, một thửa có diện tích a (ha) cho thu hoạch được m tấn lúa, thửa kia có diện tích b (ha) cho thu hoạch n tấn lúa.

b) Các biểu thức trên có đặc điểm nào giống nhau? Chúng có phải là đa thức không?

Lời giải:

a)

• Biểu thức biểu thị chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng 3 m2 là: $\frac{3}{\mathrm{a}}$ (m).

• Gọi t là thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm.

Vì thời gian làm việc và số sản phẩm làm được là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:

$\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}$ = $\frac{1}{\mathrm{y}}$, suy ra t = $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$ (giờ)

Vậy biểu thức biểu thị thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm là: $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$ (giờ).

• Diện tích của mảnh ruộng là: a + b (ha).

Mảnh ruộng cho thu hoạch được số tấn lúa là: m + n (tấn lúa).

Biểu thức biểu thị năng suất trung bình của mảnh ruộng gồm hai thửa đó là: $\frac{m+n}{a+b}$ (tấn/ha).

b) Các biểu thức trên đều là biểu thức có dạng $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.

Do đó các biểu thức này không phải là đa thức.

Khám phá 2: Cho biểu thức $P=\frac{x^2-1}{2x+1}$

a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 0.

b) Tại -$\frac{1}{2}$ , giá trị của biểu thức có xác định không? Tại sao?

Lời giải:

Thực hành 1: Tìm giá trị của phân thức:

a) $\frac{x^2-2x+1}{x+2}$ tại x = –3, x = 1;

b) $\frac{xy-3y^2}{x+y}$ tại x = 3, y = –1.

Lời giải:

a) Tại x = -3, ta có: (−3)2−2×(−3)+1−3+2=−16

Tại x =1, ta có: 12−2×1+11+2=0

b) Tại x = 3, y = -1ta có: 3×(−1)−3×(−1)23+(−1)=−3

Thực hành 2: Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức:

a) $\frac{1}{a+4}$ ;

b) $\frac{x{y}^2}{x-2y}$ .

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{1}{a+4}$ là a + 4 ≠ 0 hay a ≠ ‒4.

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x{y}^2}{x-2y}$ là x – 2y ≠ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x – 2y ≠ 0).

Vận dụng 1: Giá thành trung bình của một chiếc áo sơ mi được một xí nghiệp sản xuất cho bởi biểu thức $C\left(x\right)=\frac{0,0002x^2+120x+1000}{x}$ , trong đó x là số áo được sản xuất và C tính bằng nghìn đồng. Tính C khi x = 100, x = 1 000

Lời giải:

Tại x = 100, C=0.0002×1002+12×100+1000100=130.02 (nghìn đồng)

Tại x = 1000, C=0.0002×10002+12×1000+10001000=121.2 (nghìn đồng)

2. Hai phân thức bằng nhau

Khám phá 3: Xét hai phân thức $M=\frac{x}{y}$ và $N=\frac{x^2-x}{xy-y}$

a) Tính giá trị của các phân thức trên khi x = 3, y = 2 và khi x = ‒1, y = 5.

Nêu nhận xét về giá trị của M và N khi cho x và y nhận những giá trị nào đó (y ≠ 0 và xy – y ≠ 0).

b) Nhân tử thức của phân thức này với mẫu thức của phân thức kia, rồi so sánh hai đa thức nhận được.

Lời giải:

Thực hành 3: Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao?

a) $\frac{x{y}^2}{xy+y}$ và $\frac{xy}{x+1}$;

b) $\frac{xy-x}{y}$ và $\frac{xy-y}{x}$

Lời giải:

a) Ta có: (xy2)(x+1)=x2y2+xy2=xy(xy+y)

Vậy (xy2)(x+1)=xy(xy+y)

Do đó xy2xy+y=xyx+1

b) Ta có: (xy−y)y=xy2−y2

x(xy−x)=x2y−x2

Do xy2−y2≠x2y−x2 hay (xy−y)y≠x(xy−x)

Vậy xy−yx≠xy−xy

3. Tính chất cơ bản của phân thức

Khám phá 4: Xét các phân thức $P=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}$, $Q=\frac{x}{y}$, $R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}$

a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?

b) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển Q thành P và R thành Q?

Lời giải:

a) • Xét hai phân thức $P=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}$ và $Q=\frac{x}{y}$ ta có:

x2y.y = x2y2;

xy2.x = x2y2.

Do đó x2y.y = xy2.x

Vậy $\frac{x^{2}y}{x{y}^2}$ = $\frac{x}{y}$ hay P = Q            (1)

• Xét hai phân thức $Q=\frac{x}{y}$ và $R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}$ ta có:

x.(xy + y2) = x2y + xy2;

y.(x2 + xy) = x2y + xy2.

Do đó x.(xy + y2) = y.(x2 + xy)

Vậy $\frac{x}{y}$ = $\frac{x^2+xy}{xy+y^2}$, hay Q = R      (2)

Từ (1) và (2) ta có P = Q = R.

Vậy các phân thức P, Q và Q bằng nhau.

b) • Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức $Q=\frac{x}{y}$ với cùng đơn thức xy khác đa thức không thì được: .

• Ta có:$Q=\frac{x}{y}=\frac{x.xy}{y.xy}=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}=P$

Ta chia cả tử và mẫu của phân thức R cho cùng nhân tử chung là (x + y) thì được:

$R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}=\frac{x\left(x+y\right)}{y\left(x+y\right)}=\frac{\left[x\left(x+y\right)\right]:\left(x+y\right)}{\left[y\left(x+y\right)\right]:\left(x+y\right)}=\frac{x}{y}$.

Thực hành 4: Chứng tỏ hai phân thức $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}$ và $\frac{a-b}{ab}$ bằng nhau theo hai cách khác nhau

Lời giải:

Cách 1: Ta có (a2b+ab2)(a−b)=a3b+a2b2−a2b2−ab3=a3b−ab3=ab(a2−b2)

Do đó (a2−b2)ab=(a2+ab2)(a−b)

Vậy a2−b2a2b+ab2=a−bab

Cách 2: a2−b2a2b+ab2=(a+b)(a−b)(ab(a+b)=a−bab

Vậy a2−b2a2b+ab2=a−bab

Thực hành 5: Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{3x^2+6xy}{6x^2}$;

b) $\frac{2x^2-x^3}{x^2-4}$;

c) $\frac{x+1}{x^3+1}$.

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

$\frac{3x+1}{2x-1}$;             2x2 – 5x + 3;                    $\frac{3x+1}{2x-1}$.

Lời giải:

Trong các biểu thức trên, $\frac{3x+1}{2x-1}$ và 2x2 – 5x + 3 là phân thức.

Biểu thức $\frac{3x+1}{2x-1}$ không phải là phân thức, vì có chứa biểu thức $\sqrt{x}$.

Bài tập 2: Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:

a) $\frac{4x-1}{x-6}$;

b) $\frac{x-10}{x+3y}$;

c) 3x2 – x + 7.

Lời giải:

a) Phân thức xác định khi x−6≠0 hay x≠6

b) Phân thức xác định khi x+3y≠0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x + 3y ≠ 0).

c) Phân thức xác định với mọi x ∈ ℝ.

Bài tập 3: Tìm giá trị của phân thức:

a) $A=\frac{3x^2+3x}{x^2+2x+1}$ tại x = ‒ 4;

b) $B=\frac{ab-b^2}{a^2-b^2}$ tại a = 4, b = ‒2.

Lời giải:

Bài tập 4: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao?

a) $\frac{3ac}{a^{3}b}$ và $\frac{6c}{2a^{2}b}$;

b) $\frac{3ab-3b^2}{6b^2}$ và $\frac{a-b}{2b}$.

Lời giải:

a) Xét hai phân thức $\frac{3ac}{a^{3}b}$ và $\frac{6c}{2a^{2}b}$ ta có:

3ac.2a2b = 6a3bc;

a3b.6c = 6a3bc.

Do đó 3ac.2a2b = a3b.6c

Vậy $\frac{3ac}{a^{3}b}$ = $\frac{6c}{2a^{2}b}$.

b) Ta có: $\frac{3ab-3b^2}{6b^2}=\frac{3b\left(a-b\right)}{3b.2b}=\frac{a-b}{2b}$.

Vậy $\frac{3ab-3b^2}{6b^2}=\frac{a-b}{2b}$.

Bài tập 5: Tìm đa thức thích hợp thay vào  trong các đẳng thức sau:

Lời giải:

a) 2x+1x−1=(2x+1)(x+1)(x−1)(x+1)=2x2+3x+1x2−1

Đa thức cần tìm là: 2x2+3x+1

b) x2+2xx3+8=x(x+2)(x+2)(x2−2x+4=xx2−2x+4

Đa thức cần tìm là x

Bài tập 6: Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{3x^{2}y}{2x{y}^5}$;

b) $\frac{3x^2-3x}{x-1}$;

c) $\frac{a{b}^2-a^{2}b}{2a^2+a}$;

d) $\frac{12\left(x^4-1\right)}{18\left(x^2-1\right)}$.

Lời giải: