Giải SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 2: Tứ giác

Khởi động: Hình màu xanh bên được trích ra từ bản đồ được gọi là Tứ giác Long Xuyên. Em hãy cho biết:

‒ Hình này được tạo bởi mấy đoạn thẳng?

‒ Các đoạn thẳng này nối các địa điểm nào?

Lời giải:

‒ Hình trên được tạo bởi 4 đoạn thẳng (CH, HR, RL, LC).

‒ Các đoạn thẳng này nối các địa điểm C (Châu Đốc), H (Hà Tiên), Q (Rạch Giá), L (Long Xuyên).

1. Tứ giác

Khám phá 1: Trong các hình tạo bởi bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA sau đây, hình nào không có hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng?

Lời giải:

- Hình 1a, 1d không có hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng. 

Khám phá 2: Vẽ các đường thẳng lần lượt chứa mỗi cạnh của các tứ giác sau đây và nêu nhận xét của em về vị trí của các cạnh còn lại của tứ giác đối với mỗi đường thẳng đã vẽ.

Lời giải:

Ta vẽ các đường thẳng lần lượt chứa mỗi cạnh của các tứ giác như hình vẽ dưới đây:

Nhận xét:

• Hình a): các cạnh còn lại của tứ giác luôn nằm trong cùng một mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

• Hình b): các cạnh còn lại của tứ giác không nằm trong cùng một mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa cạnh BC (hoặc CD) của tứ giác.

• Hình c): các cạnh còn lại của tứ giác không nằm trong cùng một mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa cạnh BC (hoặc AD) của tứ giác.

Thực hành 1: Vẽ tứ giác MNPQ và tìm:

‒ Hai đỉnh đối nhau;

‒ Hai đường chéo;

‒ Hai cạnh đối nhau.

Lời giải:

- Hai đỉnh đối nhau: Q và N, M và P

- Hai đường chéo: QN, MP

- Hai cạnh đối nhau: MN và QP, MQ và NP

Vận dụng 1: Tìm các đỉnh, cạnh và đường chéo của tứ giác Long Xuyên CHRL (Hình 6).

Lời giải:

Trong tứ giác Long Xuyên CHRL có:

+ Các đỉnh: C, H, R, L;

+ Các cạnh: CH, HR, RL, LC;

+ Các đường chéo: CR và HL.

2. Tổng các góc của một tứ giác

Khám phá 3: Đường chéo AC chia tứ giác ABCD thành hai tam giác ACB và ACD (Hình 7). Tính tổng các góc của tam giác ACB và tam giác ACD. Từ đó, ta có nhận xét gì về tổng các góc của tứ giác ABCD?

Lời giải:

Thực hành 2: Tìm x trong mỗi tứ giác sau:

Lời giải:

Do tổng số đo bốn góc của một tứ giác bằng 360∘ nên ta có:

Trong tứ giác PSRQ: x+2x+70∘+80∘=360∘, suy ra 3x=210∘, do đó x=70∘

Trong tứ giác ABCD: x=360∘−(95∘+100∘+90∘), suy ra x=75∘

Trong tứ giác EFGH: x=360∘−(99∘+90∘+90∘), suy ra x=81∘

Vận dụng 2: Phần thân của cái diều ở Hình 10a được vẽ lại như Hình 10b. Tìm số đo các góc chưa biết trong hình.

Lời giải:

Xét DABC và DADC có:

AC là cạnh chung; AB = AD; BC = DC (giả thiết).

Do đó DABC = DADC (c.c.c).

Suy ra $\hat{B}=\hat{D}$ (hai góc tương ứng).

Xét tứ giác ABCD có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra $130°+\hat{B}+60°+\hat{B}=360°$

Hay $2\hat{B}=360°-\left(130°+60°\right)=170°$.

Do đó $\hat{B}=85°$.

Vậy $\hat{B}=\hat{D}=85°$.

Bài tập

Bài tập 1: Tìm số đo các góc chưa biết của các tứ giác trong Hình 11.

Lời giải:

Bài tập 2: Góc kề bù với một góc của tứ giác được gọi là góc ngoài của tứ giác đó. Hãy tính tổng số đo bốn góc ngoài  của tứ giác ABCD ở Hình 12.

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD có: ${\hat{A}}_2+{\hat{B}}_2+{\hat{C}}_2+{\hat{D}}_2=360°$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Mặt khác: ${\hat{A}}_1+{\hat{A}}_2=180°$ (hai góc kề bù)

Tương tự: ${\hat{B}}_1+{\hat{B}}_2=180°;{\hat{C}}_1+{\hat{C}}_2=180°;{\hat{D}}_1+{\hat{D}}_2=180°$

Suy ra

$\left({\hat{A}}_1+{\hat{A}}_2\right)+\left({\hat{B}}_1+{\hat{B}}_2\right)+\left({\hat{C}}_1+{\hat{C}}_2\right)+\left({\hat{D}}_1+{\hat{D}}_2\right)=180°+180°+180°+180°$

Hay ${\hat{A}}_1+{\hat{B}}_1+{\hat{C}}_1+{\hat{D}}_1+\left({\hat{A}}_2+{\hat{B}}_2+{\hat{C}}_2+{\hat{D}}_2\right)=720°$

Do đó ${\hat{A}}_1+{\hat{B}}_1+{\hat{C}}_1+{\hat{D}}_1+360°=720°$

Nên ${\hat{A}}_1+{\hat{B}}_1+{\hat{C}}_1+{\hat{D}}_1=720°-360°=360°$.

Vậy tổng số đo bốn góc ngoài ${\hat{A}}_1,{\hat{B}}_1,{\hat{C}}_1,{\hat{D}}_1$ của tứ giác ABCD bằng 360°.

Bài tập 3: Tứ giác ABCD có $\hat{A}=100°$, góc ngoài tại đỉnh B bằng 110°, $\hat{C}=75°$. Tính số đo góc D

Lời giải:

Ta có: Bˆ=180∘−110∘=70∘

Do tổng các góc của một tứ giác bằng 360∘ nên ta có: Dˆ=360∘−(100∘+70∘+75∘)=115∘

Bài tập 4: Tứ giác ABCD có góc ngoài tại đỉnh A bằng 65°, góc ngoài tại đỉnh B bằng 100°, góc ngoài tại đỉnh C bằng 60°. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.

Lời giải:

Bài tập 5: Tứ giác ABCD có số đo $\hat{A}=x,\hat{B}=2x,\hat{C}=3x,\hat{D}=4x$. Tính số đo các góc của tứ giác đó

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra x + 2x + 3x + 4x = 360°

Hay 10x = 360°

Do đó x = 36°.

Khi đó: $\hat{A}=36°;\hat{B}=2.36°=72°;\hat{C}=3.36°=108°;\hat{D}=4.36°=144°$.

Vậy $\hat{A}=36°;\hat{B}=72°;\hat{C}=108°;\hat{D}=144°$.

Bài tập 6: Ta gọi tứ giác ABCD với AB = AD, CB = CD (Hình 13) là hình “cái diều”.

a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD.

b) Cho biết $\hat{B}=95°$, $\hat{C}=35°$. Tính $\hat{A}$ và $\hat{D}$.

Lời giải:

a) Ta có: AB = AD (gt) => A thuộc đường trung trực của BD

CB = CD (gt) => C thuộc đường trung trực của BD.

Vậy AC là đường trung trực của BD.

b)  Xét ∆ ABC và ∆ADC có:

AB = AD (gt)

CB = CD (gt)

AC chung

nên ∆ ABC = ∆ADC (c.c.c)

Suy ra Bˆ=Dˆ=95∘

Ta có: Aˆ=360∘−(95∘+95∘+35∘)=135∘

Bài tập 7: Trên bản đồ, tứ giác BDNQ với các đỉnh là các thành phố Buôn Ma Thuột, Đà Lạt, Nha Trang, Quy Nhơn.

a) Tìm các cạnh kề và cạnh đối của cạnh BD.

b) Tìm các đường chéo của tứ giác.

Lời giải: