Giải SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Khởi động:

Lời giải:

652 – 352 = (65 + 35) . (65 – 35) = 100 . 30 = 3 000.

102 . 98 = (100 + 2) . (100 – 2) = 1002 – 22 = 10 000 – 4 = 9 996.

1. Bình phương của một tổng, một hiệu

Khám phá 1: 

a) Ba bạn An, Mai và Bình viết biểu thức biểu thị tổng diện tích S của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:

An: S = (a + b)2.

Mai: S = a2 + b2 + ab + ba.

Bình: S = a2 + 2ab + b2.

Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức của bạn An.

c) Bằng cách làm tương tự ở câu b), có thể biến đổi biểu thức (a − b)2 thành biểu thức nào?

Lời giải:

Thực hành 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (3x + 1)2;

b) (4x + 5y)2;

c) ${\left(5x-\frac{1}{2}\right)}^2$;

d) (–x + 2y2)2.

Lời giải:

a) (3x+1)2=(3x)2+2×3x×1+12=9x2+6x+1

b) (4x+5y)2=(4x)2+2×4x×5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2

c) (5x−12)2=(5x)2−2×5x×12+(12)2=25x2−5x+14

d) (−x+2y2)2=x2−2×x×2y2+(2y2)2=x2−4xy2+4y4

Thực hành 2: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) a2 + 10ab + 25b2;

b) 1 + 9a2 – 6a.

Lời giải:

a) a2 + 10ab + 25b2

= a2 + 2.a.5b + (5b)2

= (a + 5b)2.

b) 1 + 9a2 – 6a

= 1 – 6a + 9a2

= 12 – 2.1.3a + (3a)2

= (1 – 3a)2.

Hoặc ta có thể viết như sau:

1 + 9a2 – 6a

= 9a2 – 6a + 1

= (3a)2 – 2.3a.1 + 12

= (3a – 1)2.

Thực hành 3: Tính nhanh:

a) 522;

b) 982.

Lời giải:

a) 522=(50+2)2=502+2×50×2+22=2500+200+4=2704

b) 982=(100−2)2=1002−2×100×2+22=10000−400+4=9604

Vận dụng 1: 

a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh 10 m được mở rộng cả hai cạnh thêm x (m) như Hình 2a. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.

b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh 5 m thì được một mảnh vườn hình vuông với cạnh là x (m) như Hình 2b. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.

Lời giải:

2. Hiệu của hai bình phương

Khám phá 2: 

a) Từ Hình 3a, người ta cắt ghép tạo thành Hình 3b. Viết hai biểu thức khác nhau, mỗi biểu thức biểu thị diện tích (phần tô màu) của một trong hai hình bên.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức, biến đổi biểu thức (a + b)(a – b) thành một đa thức thu gọn. Từ đó, có kết luận gì về diện tích của hai hình bên?

Lời giải:

a) Ta đặt tên các điểm trên Hình 3 như hình vẽ dưới đây.

• Diện tích hình vuông ABCD là: a2.

Diện tích hình vuông EGHD là: b2.

Diện tích phần tô màu ở Hình 3a là: a2 – b2.

• Chiều dài của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a + b.

Chiều rộng của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a – b.

Diện tích hình chữ nhật (phần tô màu) trong Hình 3b là: (a + b)(a – b).

b) Ta có:

(a + b)(a – b) = a.(a – b) + b.(a – b) = a.a – ab + ba – b.b = a2 – b2.

Vậy diện tích của hai hình trong Hình 3a và Hình 3b trùng nhau.

Thực hành 4: Thực hiện các phép nhân:

a) (4 – x)(4 + x);

b) (2y + 7z)(2y – 7z);

c) (x + 2y2)(x – 2y2).

Lời giải:

a) (4−x)(4+x)=42−x2=16−x2

b) (2y+7z)(2y−7z)=(2y)2−(7z)2=4y2−49z2

c) (x+2y2)(x−2y2)=x2−(2y2)2=x2−4y4

Thực hành 5: Tính nhanh:

a) 82 . 78;

b) 87 . 93;

c) 1252 – 252.

Lời giải:

Vận dụng 2: Giải đáp câu hỏi ở Hoạt động khởi động (trang 18).

Lời giải:

Ta tính nhanh các phép tính như sau:

652 – 352 = (65 + 35) . (65 – 35) = 100 . 30 = 3 000.

102 . 98 = (100 + 2) . (100 – 2) = 1002 – 22 = 10 000 – 4 = 9 996.

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Khám phá 3: Hoàn thành các phép nhân đa thức sau vào vở, thu gọn kết quả nhận được:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2

             = (a + b)(…)

             = …

(a – b)3 = (a – b)(a – b)2

             = (a – b)(…)

             = …

Lời giải:

Thực hành 6: Tính:

a) (x + 2y)3;

b) (3y – 1)3.

Lời giải:

a) (x+2y)3=x3+3×x2×2y+3×x×(2y)2+(2y)3=x3+6x2y+12xy2+8y3

b) (3y−1)3=(3y)3−3×(3y)2×1+3×3y×12−1=27y3−27y2+9y−1

Vận dụng 3: Một thùng chứa dạng hình lập phương có độ dài cạnh bằng x (cm). Phần vỏ bao gồm nắp có độ dày 3 cm. Tính dung tích (sức chứa) của thùng, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Lời giải:

Phần lòng trong của thùng chứa có dạnh hình lập phương với độ dài cạnh là x – 3 – 3 = x – 6 (cm).

Thể tích phần lòng trong của thùng là:

(x – 6)3 = x3 – 3.x2.6 + 3.x.62 – 63

             = x3 – 18x2 + 108x – 216 (cm3).

Vậy dung tích (sức chứa) của thùng là x3 – 18x2 + 108x – 216 (cm3).

4. Tổng và hiệu của hai lập phương

Khám phá 4: Sử dụng quy tắc chuyển vế và các tính chất của phép toán, hoàn thành các biến đổi sau vào vở:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2

           = (a + b)3 – 3ab(a + b)

           = (a + b)(…)

           = …

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2

           = (a – b)3 + 3ab(a – b)

           = (a – b)(…)

           = …

Lời giải:

Thực hành 7: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) 8y3 + 1;

b) y3 – 8.

Lời giải:

a) 8y3 + 1 = (2y)3 + 1

                = (2y + 1)[(2y)2 – 2y.1 + 12]

                = (2y + 1)(4y2 – 2y + 1)

b) y3 – 8 = y3 – 23

              = (y – 2)(y2 + y.2 + 22)

              = (y – 2)(y2 + 2y + 4).

Thực hành 8: Tính:

a) (x + 1)(x2 – x + 1);

b) $\left(2x-\frac{1}{2}\right)\left(4x^2+1+\frac{1}{4}\right)$.

Lời giải:

a) (x+1)(x2−x+1)=(x+1)(x2−x+12)=x3+1

b) (2x−12)(4x2+x+14)=(2x−12)[(2x)2+x+(12)2]=(2x)3−(12)3=8x3−18

Vận dụng 4: Từ một khối lập phương có cạnh bằng 2x + 1, ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng x + 1 (xem Hình 5). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Lời giải:

Bài tập

Bài tập 1: Tính:

a) (3x + 4)2;

b) (5x – y)2;

c) ${\left(xy-\frac{1}{2}y\right)}^2$.

Lời giải:

a) (3x + 4)2

= (3x)2 + 2.3x.4 + 42

= 9x2 + 24x + 16.

b) (5x – y)2

= (5x)2 – 2.5x.y + y2

= 25x2 – 10xy + y2.

c) ${\left(xy-\frac{1}{2}y\right)}^2$

$={\left(xy\right)}^2-2.xy.\frac{1}{2}y+{\left(\frac{1}{2}y\right)}^2$

$=x^2{y}^2-x{y}^2+\frac{1}{4}{y}^2$.

Bài tập 2: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) x2 + 2x + 1;

b) 9 – 24x + 16x2;

c) 4x2 + $\frac{1}{4}$ + 2x.

Lời giải:

a) x2+2x+1=x2+2x+12=(x+1)2

b) 9−24x+16x2=32−24x+(4x)2=(3−4x)2

c) 4x2+14+2x=(2x)2+2x+(12)2=(2x+12)2

Bài tập 3: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (3x – 5)(3x + 5);

b) (x – 2y)(x + 2y);

c) $\left(-x-\frac{1}{2}y\right)\left(-x+\frac{1}{2}y\right)$.

Lời giải:

Bài tập 4: 

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức.

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x − 2 dưới dạng đa thức.

Lời giải:

a) Biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 là:

(2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2 + 12x + 9.

b) Biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x − 2 là:

(3x – 2)3 = (3x)3 – 3.(3x)2.2 + 3.3x.22 – 23

               = 27x3 – 54x2 + 36x – 8.

Bài tập 5: Tính nhanh:

a) 38 . 42;

b) 1022;

c) 1982;

d) 752 – 252.

Lời giải:

a) 38×42=(40−2)(40+2)=402−22=1600−4=1596

b) 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404

c) 1982=(200−2)2=2002−2×200×2+22=40000−800+4=39204

d) 752−252=(75−25)(75+25)=50×100=5000

Bài tập 6: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (2x – 3)3;

b) (a + 3b)3;

c) (xy –1)3.

Lời giải:

Bài tập 7: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (a – 5)(a2 + 5a + 25);

b) (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2).

Lời giải:

a) (a – 5)(a2 + 5a + 25)

= (a – 5)(a2 + a.5 + 52)

= a3 – 53

= a3 – 125.

b) (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)

= (x + 2y).[x2 – x.2y + (2y)2]

= x3 + (2y)3

= x3 + 8y3.

Bài tập 8: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (a – 1)(a + 1)(a2 + 1);

b) (xy + 1)2 – (xy – 1)2.

Lời giải:

a) (a−1)(a+1)(a2+1)=(a2−1)(a2+1)=(a2)2−1=a4−1

b) (xy+1)2−(xy−1)2=(xy+1−xy+1)(xy+1+xy−1)=2(2xy)=4xy

Bài tập 9: 

a) Cho x + y = 12 và xy = 35. Tính (x − y)2.

b) Cho x – y = 8 và xy = 20. Tính (x + y)2.

c) Cho x + y = 5 và xy = 6. Tính x3 + y3.

d) Cho x – y = 3 và xy = 40. Tính x3 – y3.

Lời giải:

Bài tập 10: Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm. Thể tích của hình hộp chữ nhật sẽ tăng bao nhiêu nếu:

a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm?

b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm?

Lời giải:

Thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm là:

53 = 125 (cm3).

a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

(5 + a).(5 + a).5 = (5 + a)2.5

                          = (52 + 2.5.a + a2).5

                          = (25 + 10a + a2).5

                          = 25.5 + 10a.5 + a2.5

                          = 125 + 50a + 5a2 (cm3).

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:

125 + 50a + 5a2 – 125 = 5a2 + 50a (cm3).

Vậy nếu chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm thì thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm 5a2 + 50a (cm3).

b) Chiều cao của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

(5 + a).(5 + a).(5 + a) = (5 + a)3

                                   = 53 + 3.52.a + 3.5.a2 + a3

                                   = 125 + 75a + 15a2 + a3 (cm3).

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:

125 + 75a + 15a2 + a3 – 125 = a3 + 15a2 + 75a (cm3).

Vậy nếu chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm thì thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm a3 + 15a2 + 75a (cm3).