Giải SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 1: Đơn thức và đa thức nhiều biến

Khởi động: Hình bên là bản vẽ sơ lược nền của một ngôi nhà (các kích thước tính theo m).

Có thể biểu thị diện tích của nền nhà bằng một biểu thức chứa x và y không? Nếu có, trong biểu thức đó chứa các phép tính nào?

Lời giải:

Có thể biểu thị diện tích của nền nhà bằng một biểu thức chứa x và y.

Ta chia nền nhà thành các hình chữ nhật ABCD, BEFG, GHKF như hình vẽ dưới đây.

Biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật ABCD là:

    (x + x).x = 2x.x = 2x2 (m2).

Biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật BEFG là: xy (m2).

Biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật GHKF là: 2x (m2).

Diện tích nền nhà là tổng diện tích của các hình chữ nhật nên biểu thức biểu thị diện tích nền nhà là:

2x2 + xy + 2x (m2).

Trong biểu thức trên có chứa phép cộng, phép nhân.

1. Đơn thức và đa thức

Khám phá 1: Một số biểu thức được phân chia thành các nhóm như dưới đây:

a) Các biểu thức ở nhóm A có đặc điểm gì phân biệt với các biểu thức ở nhóm B và nhóm C?

b) Các biểu thức ở nhóm A và nhóm B có đặc điểm gì chung, phân biệt với các biểu thức ở nhóm C?

Lời giải:

a) Các biểu thức ở nhóm A là các biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Các biểu thức ở nhóm B và nhóm C là tổng, hiệu hoặc thương của các biểu thức đại số gồm một số, hoặc một tích giữa các số và các biến.

b) Các biểu thức ở nhóm A và nhóm B chỉ gồm tổng, hiệu hoặc tích giữa các số và các biến.

Các biểu thức ở nhóm C có xuất hiện phép chia giữa các biến hoặc phép toán lấy căn bậc hai số học của biến.

Thực hành 1: Cho các biểu thức sau:

$ab–\pi r^2;\frac{4\pi r^3}{3};\frac{p}{2\pi };x-\frac{1}{y};0;\frac{1}{\sqrt{2}};x^3-x+1$

Trong các biểu thức trên, hãy chỉ ra:

a) Các đơn thức;

b) Các đa thức và số hạng tử của chúng.

Lời giải:

a) Các đơn thức: 4πr33;p2π;0;12√

b) Các đa thức:

- Các đơn thức ở câu a) đều có 1 hạng tử

- Đa thức ab−πr2 có 2 hạng tử, đa thức x3−x+1 có 3 hạng tử

Vận dụng 1: Một bức tường hình thang có cửa sổ hình tròn với các kích thước như Hình 1 (tính bằng m).

a) Viết biểu thức biểu thị diện tích bức tường (không tính phần cửa sổ).

b) Tính giá trị diện tích trên khi a = 2 m; h = 3 m; r = 0,5 m (lấy π = 3,14; làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải:

2. Đơn thức thu gọn

Khám phá 2: Để tính thể tích của hình hộp chữ nhật ở Hình 2, bạn An viết V = 3xy . 2x, còn bạn Tâm viết V = 6x2y. Nêu nhận xét về kết quả của hai bạn.

Lời giải:

Thể tích của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc (đơn vị thể tích).

Do đó thể tích của hình hộp chữ nhật ở Hình 2 là:

V = 3x.y.2x = 3xy.2x = (3.2).(x.x).y = 6.x1+1.y = 6x2y (đơn vị thể tích).

Vậy kết quả của hai bạn An và Tâm đều đúng, tuy nhiên kết quả của bạn Tâm gọn hơn

Thực hành 2: Thu gọn các đơn thức sau đây. Chỉ ra hệ số và bậc của chúng.

a) 12xy2x;                            

b) –y(2z)y;                

c) x3yx;                                

d) 5x2y3z4y.

Lời giải:

a) 12xy2x=12x2y2 có hệ số là 12, bậc bằng 4

b) −y(2x)y=−2y2z có hệ số là -2, bậc bằng 3

c) x3yx=x4y có hệ số là 1, bậc bằng 5

d) 5x2y3z4y=5x2y4z4 có hệ số là 5, bậc bằng 10

3. Cộng, trừ đơn thức đồng dạng

Khám phá 3: Cho hai hình hộp chữ nhật A và B có các kích thước như Hình 3.

a) Tính tổng thể tích của hình hộp chữ nhật A và B.

b) Viết biểu thức biểu diễn sự chênh lệch thể tích của A và B.

Lời giải:

Thực hành 3: Mỗi cặp đơn thức sau có đồng dạng không? Nếu có, hãy tìm tổng và hiệu của chúng.

a) xy và –6xy;

b) 2xy và xy2;

c) –4yzx2 và 4x2yz.

Lời giải:

a) xy và -6xy là hai đơn thức đồng dạng vì có hệ số khác 0 và cùng phần biến là xy

xy + (-6xy) = -5xy

xy - (-6xy) = 7xy

b) 2xy và xy2 không phải hai đơn thức đồng dạng vì có phần biến khác nhau

c) −4yzx2 và 4x2yz là hai đơn thức đồng dạng vì có hệ số khác 0 và cùng phần biến là x2yz

−4yzx2+4x2yz=0

−4yzx2−4x2yz=−8x2yz

4. Đa thức thu gọn

Khám phá 4:

Cho hai đa thức A = 5x2 – 4xy + 2x – 4x2 + xy; B = x2 – 3xy + 2x.

Tính giá trị của A và B tại x = –2; y = $\frac{1}{3}$. So sánh hai kết quả nhận được.

Lời giải:

• Thay x = –2 và y = $\frac{1}{3}$ vào đa thức A = 5x2 – 4xy + 2x – 4x2 + xy ta được:

A = 5.(–2)2 – 4.(–2). $\frac{1}{3}$ + 2.(–2) – 4.(–2)2 + (–2). $\frac{1}{3}$

   = 20 + $\frac{8}{3}$ – 4 – 16 – $\frac{2}{3}$

   = $\left(\frac{8}{3}-\frac{2}{3}\right)$ + (20 - 4 - 16)

   = 2.

• Thay x = –2 và y = $\frac{1}{3}$ vào đa thức B = x2 – 3xy + 2x ta được:

B = (–2)2 – 3.(–2). $\frac{1}{3}$ + 2.(–2) = 4 + 2 – 4 = 2.

Vậy giá trị của hai biểu thức A và B bằng nhau.

Thực hành 4: Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) A = x – 2y + xy – 3x + y2;

b) B = xyz – x2y + xz – $\frac{1}{2}$xyz + $\frac{1}{2}$xz.

Lời giải:

Thực hành 5: Tính giá trị của đa thức A = 3x2y – 5xy – 2x2y – 3xy tại x = 3; y = $-\frac{1}{2}$.

Lời giải:

A=3x2y−5xy−2x2y−3xy=x2y−8xy

Thay x=3;y=−12 vào đơn thức A ta có: 32×(−12)−8×3×(−12)=152

Vận dụng 2: Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước như Hình 4 (tính theo cm).

a) Viết các biểu thức tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó.

b) Tính giá trị của các đại lượng trên khi a = 2 cm; h = 5 cm.

Lời giải:

a) Biểu thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

V = 3a.2a.h = 6a2h (cm3).

Biểu thức biểu thị diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó là:

Sxq = 2.(3a + 2a).h = 2.5a.h = 10ah (cm2).

Vậy biểu thức biểu thị diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó là 10ah (cm2).

b) Thay a = 2 cm và h = 5 cm vào biểu thức V = 6a2h ta được:

V = 6.22.5 = 120 (cm3).

Thay a = 2 cm và h = 5 cm vào biểu thức Sxq = 10ah ta được:

Sxq = 10.2.5 = 100 (cm2).

Vậy khi a = 2 cm; h = 5 cm thì thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật lần lượt là 120 cm3 và 100 cm2.

Bài tập

Bài tập 1: Chỉ ra các đơn thức, đa thức trong các biểu thức sau:

$–3;2z;\frac{1}{3}xy+1;–10x^{2}yz;\frac{4}{xy};5x-\frac{z}{2};1+\frac{1}{y}$

Lời giải:

Các đơn thức là: –3; 2z; –10x2yz.

Các đa thức là: –3; 2z; –10x2yz; $\frac{1}{3}$xy + 1; 5x – $\frac{\mathrm{z}}{2}$.

Bài tập 2: Thu gọn các đơn thức sau. Chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức.

$5xyx;-xyz\frac{2}{3}y;-2x^2\left(-\frac{1}{6}\right)x$

Lời giải:

5xyx=5x2y có hệ số là 5, phần biến là x2y, bậc bằng 3

−xyz23y=−23xy2z có hệ số là −23, phần biến là xy2z, bậc bằng 4

−2x2(−16)x=13x3 có hệ số là 13, phần biến là x3, bậc bằng 3

Bài tập 3: Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) M = x – 3 – 4y + 2x – y;

b) N = –x2t + 13t3 + xt2 + 5t3 – 4.

Lời giải:

Bài tập 4: Tính giá trị của đa thức P = 3xy2 – 6xy + 8xz + xy2 – 10xz tại x = –3; y = $-\frac{1}{2}$; z = 3.

Lời giải:

Thu gọn đa thức P:

P = 3xy2 – 6xy + 8xz + xy2 – 10xz

   = (3xy2 + xy2) – 6xy + (8xz – 10xz)

   = 4xy2 – 6xy – 2xz.

Thay x = –3; y = $-\frac{1}{2}$ và z = 3 vào đa thức P ta được: 

P = $4.\left(-3\right).{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-6.\left(-3\right).\left(-\frac{1}{2}\right)-2.\left(-3\right).3$

= $4.\left(-3\right).\frac{1}{4}-6.3.\frac{1}{2}+2.3.3$

= -3 - 9 + 18 = 6

Vậy giá trị của biểu thức P đã cho tại x = –3; y = $-\frac{1}{2}$; z = 3 là 6.

Bài tập 5: Viết biểu thức biểu thị thể tích V và diện tích xung quanh S của hình hộp chữ nhật trong Hình 5.

Tính giá trị của V, S khi x = 4 cm, y = 2 cm và z = 1 cm.

Lời giải:

V=2x×4y×2z=24xyz(cm3)

S=2×2z×(3x+4y)=12xz+16yz(cm2)

Thay x = 4, y = 2, z = 1 vào V ta có: 24×4×2×1=192(cm3)

Thay x = 4, y = 2, z = 1 vào S ta có: 12×4×1+16×2×1=80(cm2)