Giải SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 5: Hình chữ nhật - Hình vuông

• Trường hợp 1: AB = BC.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có hai cạnh kề bằng nhau AB = BC nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên là hình vuông.

• Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo vuông góc nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên là hình vuông.

• Trường hợp 3: AC là đường phân giác của góc BAD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên là hình vuông.

Khám phá 7: Cho hình thoi ABCD. Hãy chứng tỏ:

a) Nếu ${\mathrm{BA^\backslash widehat\{BA\}BAD}}^{}$ là góc vuông thì ba góc còn lại của hình thoi cũng là góc vuông.

b) Nếu AC = BD thì ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}BAD}}^{}$ là góc vuông.

Lời giải:

a)

Ta có hình thoi ABCD cũng là hình bình hành.

Lại có ${\mathrm{BA^\backslash widehat\{BA\}BAD}}^{}=90°$ nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Do đó ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}={\mathrm{BCD^\backslash widehat\{BCD\}BCD}}^{}={\mathrm{BCD^\backslash widehat\{BCD\}CDA}}^{}=90°$.

b)

Ta có hình thoi ABCD cũng là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Do đó ${\mathrm{BA^\backslash widehat\{BA\}BAD}}^{}=90°$.

Thực hành 4: Trong Hình 12, cho biết ABCD là một hình vuông. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFGH có ba góc vuông;

b) HE = HG;

c) Tứ giác EFGH là một hình vuông.

Lời giải:

Vận dụng 4: Bạn Nam kiểm tra mặt kính của chiếc đồng hồ để bàn và nhận thấy có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau (Hình 13). Hãy cho biết mặt kính đồng hồ có hình gì?

Lời giải:

- Mặt đồng hồ có ba góc vuông suy ra mặt đồng hồ là hình chữ nhật. Lại có, hai cạnh kề bằng nhau suy ra mặt đồng hồ là hình vuông.

Bài tập

Bài tập 1: Cho Hình 14. Tìm x.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào DABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 = 102

Suy ra BC = 10 (cm).

Xét DABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM bằng nửa cạnh huyền BC.

Do đó $x=AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.10=5\left(cm\right)$.

Vậy x = 5 cm.

Bài tập 2: Cho Hình 15. Vẽ thêm điểm P để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

Cách vẽ:

Trên tia đối của tia HM lấy điểm P sao cho HP=HM

Chứng minh:

Tứ giác MNQP có QN và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó tứ giác MNQP là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Bài tập 3: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh HG = GK = KE.

Lời giải:

Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE // AB, vẽ DF // AC (E ∈ AC, F ∈ AB). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

b) Tứ giác BFED là hình bình hành.

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông tại A nên ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=90°$ hay AB ⊥ AC.

Do DE // AB và AB ⊥ AC nên DE ⊥ AC hay ${\mathrm{DEA^\backslash widehat\{DEA\}DEA}}^{}=90°$.

Do DF // AC và AB ⊥ AC nên DF ⊥ AB hay ${\mathrm{DFA^\backslash widehat\{DFA\}DFA}}^{}=90°$

Tứ giác AEDF có ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=90°$, ${\mathrm{DEA^\backslash widehat\{DEA\}DEA}}^{}=90°$ và ${\mathrm{DFA^\backslash widehat\{DFA\}DFA}}^{}=90°$ nên là hình chữ nhật.

b) Do AEDF là hình chữ nhật nên AF = ED và AD = EF (tính chất hình chữ nhật).

Xét DABC có AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC, do đó $AD=DB=DC=\frac{1}{2}BC$.

Từ đó suy ra $AD=EF=DB=DC=\frac{1}{2}BC$

Xét DBDF và DEFD có:

${\mathrm{DFA^\backslash widehat\{DFA\}BFD}}^{}={\mathrm{DFA^\backslash widehat\{DFA\}EDF}}^{}=90°$;

BD = EF (chứng minh trên);

DF là cạnh chung.

Do đó DBDF = DEFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra FB = DE (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác BFED có FB = DE và FB // DE (do AB // DE) nên là hình bình hành.

Bài tập 5: Lấy một tờ giấy, gấp làm tư để có một góc vuông như trong Hình 16, dùng kéo cắt theo đường MN sao cho OM = ON. Mở phần giấy cắt được ra ta được một tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Giải thích kết luận của em.

Lời giải:

- Tứ giác nhận được theo nhát cắt của MN là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau.

- Nếu có thêm OM = ON thì hình thoi nhận được có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.