Giải SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương III

a) Gọi I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD

⇒ I là trung điểm của AC và BD ⇒IA=IC

⇒ IA–AE=IC–FC (vì AE=FC)

⇒ EI=FI⇒I là trung điểm của EF.

Tứ giác DEBF có DB và EF cắt nhau tại I (I là tâm đối xứng, E,F∈AC)

I là trung điểm của BD và I là trung điểm của EF.

Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành

⇒DE//BF⇒EN//BF(N∈DE)

Mà E là trung điểm của AF (AE=EF) nên N là trung điểm của AB.

ΔDEC có MF//DE(DE//BF,M∈BF) và F là trung điểm của EC (EF=FC)

⇒M là trung điểm của CD.

b) Ta có

AN=AB2 (N là trung điểm của AB)

MC=CD2 (M là trung điểm của CD)

AB=CD (ABCD là hình bình hành)

⇒AN=MC

Xét tam giác AEN và tam giác MFC ta có :

AE=FC(gt)

AN=MC (gt)

Do đó ΔAEN=ΔCFM(c.g.c)

Tứ giác EMFN có EN // MF (DE//BF,N∈DF,M∈BF)

Và EN=MF(ΔAEN=ΔCFM). Do đó tứ giác EMFN là hình bình hành.

Bài tập 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H, D lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHC là hình thang.

b) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh rằng tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

c) Tia CD cắt AH tại M và cắt BE tại N. Chứng minh rằng tứ giác AMBN là hình bình hành.

Lời giải:

a) • Do DABC cân tại A nên $ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC={\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}$ và AB = AC.

Vì AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của BC.

Vì H là trung điểm của BC nên H nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó AH là đường trung trực của BC nên AH ⊥ BC.

• Xét DAHB vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên bằng nửa cạnh huyền AB.

Do đó $HD=DB=DA=\frac{1}{2}AB$.

• Tam giác DBH có DB = DH nên là tam giác cân tại D

Suy ra ${\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}DBH}}^{}={\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}DHB}}^{}$ hay ${\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ABC}}^{}={\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}DHB}}^{}$.

Lại có ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}={\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{DHB}={\mathrm{ACB^\backslash widehat\{ACB\}ACB}}^{}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DH // AC.

• Xét tứ giác ADHC có DH // AC nên là hình thang.

b) Do E là điểm đối xứng với H qua D nên D là trung điểm của HE.

Xét tứ giác AHBE có hai đường chéo AB và HE cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường.

Suy ra AHBE là hình bình hành.

Lại có ${\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}AHB}}^{}=90°$ (do AH ⊥ BC) nên hình bình hành AHBE là hình chữ nhật.

c) • Do AHBE là hình chữ nhật nên AH // BE hay MH // NE

Suy ra ${\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}MHD}}^{}={\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}NED}}^{}$ (so le trong).

• Xét DMHD và DNED có:

${\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}MHD}}^{}={\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}NED}}^{}$ (chứng minh trên);

DH = DE (do E là điểm đối xứng với H qua D);

${\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}HDM}}^{}={\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}EDM}}^{}$ (đối đỉnh).

Do đó DMHD = DNED (g.c.g)

Suy ra DM = DN (hai cạnh tương ứng).

Hay D là trung điểm của NM.

• Xét tứ giác AMBN có hai đường chéo AB và NM cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường

Suy ra AMBN là hình bình hành.

Bài tập 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác ANEB là hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng tứ giác ANEM là hình chữ nhật.

c) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt tia EN tại F. Chứng minh rằng tứ giác AFCE là hình thoi.

d) Gọi D là điểm đối xứng của E qua M. Chứng minh rằng A là trung điểm của DF.

Lời giải:

a) • Xét ABC vuông tại A có AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC

Suy ra $AE=EB=EC=\frac{1}{2}BC$.

• Vì EA = EC nên E nằm trên đường trung trực của AC.

Vì N là trung điểm của AC nên N nằm trên đường trung trực của AC.

Suy ra EN là đường trung trực của đoạn thẳng AC nên EN ⊥ AC.

Ta có: BA ⊥ AC và EN ⊥ AC nên BA // EN.

• Tứ giác ANEB có BA // EN nên là hình thang

Lại có ${\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}BAN}}^{}=90°$ nên hình thang ANEB là hình thang vuông.

b) Vì EA = EB nên E nằm trên đường trung trực của AB.

Vì M là trung điểm của AB nên M nằm trên đường trung trực của AB.

Suy ra EM là đường trung trực của AB nên EM ⊥ AB, hay ${\mathrm{AME^\backslash widehat\{AME\}AME}}^{}=90°$.

Xét tứ giác ANEM có ${\mathrm{DHB^\backslash widehat\{DHB\}MAN}}^{}=90°$, ${\mathrm{ANE^\backslash widehat\{ANE\}ANE}}^{}=90°$, ${\mathrm{AME^\backslash widehat\{AME\}AME}}^{}=90°$ 

Suy ra ANEM là hình chữ nhật.

c) • Xét tứ giác BMFN có FM // BN và MB // NF (do AB // EN)

Suy ra BMFN là hình bình hành.

Do đó MB = NF.

Lại có AM = MB (do M là trung điểm AB) và AM = EN (do ANEM là hình chữ nhật)

Do đó EN = NF hay N là trung điểm của EF.

• Xét tứ giác AFCE có hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra AFCE là hình bình hành.

Lại có EF ⊥ AC nên AFCE là hình thoi.

d) • Do AFCE là hình thoi (câu c) nên AF // CE và AF = CE.

Chứng minh tương tự câu c, ta cũng có ADBE là hình thoi

Suy ra AD // BE và AD = BE.

• Ta có AF // BC (do AF // CE) và AD // BC (do AD // BE), theo tiên đề Euclid ta có AD và AF trùng nhau hay ba điểm F, A, D thẳng hàng   (1)

• Ta có AF = CE và AD = BE

Mà CE = BE (do E là trung điểm của BC)

Suy ra AF = AD (2)

• Từ (1) và (2) ta có A là trung điểm của DF.

Bài tập 11: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE.

a) Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh rằng tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông.

Lời giải:

Bài tập 12: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB tại E. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Chứng minh tam giác EMC cân tại M.

c) Chứng minh rằng ${\mathrm{BA^\backslash widehat\{BA\}BAD}}^{}=2{\mathrm{AEM^\backslash widehat\{AEM\}AEM}}^{}$.

Hướng dẫn:

b) Chứng minh $EN=NC=NB=\frac{1}{2}BC$.

c) Chứng minh ${\mathrm{AEM^\backslash widehat\{AEM\}AEM}}^{}={\mathrm{EMN^\backslash widehat\{EMN\}EMN}}^{}={\mathrm{EMN^\backslash widehat\{EMN\}NCM}}^{}={\mathrm{EMN^\backslash widehat\{EMN\}MCD}}^{}=\frac{1}{2}{\mathrm{EMN^\backslash widehat\{EMN\}NCD}}^{}$.

Lời giải:

a) • Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AD // BC.

Ta có AB ⊥ CE và MN ⊥ CE nên AB // MN

Mà AB // CD nên MN // CD.

Xét tứ giác MNCD có MN // CD và MD // CN (do AD // BC)

Suy ra MNCD là hình bình hành.

• Ta có M là trung điểm của AD nên $MA=MD=\frac{1}{2}AD$ hay AD = 2MD

Mà AD = 2AB nên AB = MD

Lại có AB = CD (do ABCD là hình bình hành)

Do đó MD = CD.

• Hình bình hành MNCD có MD = CD nên MNCD là hình thoi.

b) • Do MNCD là hình thoi nên $MD=CD=NC=MN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$ (do AD = BD).

Do $NC=\frac{1}{2}BC$ nên N là trung điểm của BC.

• Xét DEBC vuông tại E có EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC

Suy ra $EN=NB=NC=\frac{1}{2}BC$.

• Do NE = NC nên N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EC

Hay đường trung trực của EC đi qua N và vuông góc với EC.

Lai có NF ⊥ EC nên NF là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra F là trung điểm của EC hay FE = FC.

• Xét DEMF và DCMF có:

${\mathrm{MFE^\backslash widehat\{MFE\}MFE}}^{}={\mathrm{MFE^\backslash widehat\{MFE\}MFC}}^{}=90°$;

MF là cạnh chung;

FE = FC (chứng minh trên).

Do đó DEMF = DCMF (hai cạnh góc vuông).

Suy ra ME = MC (hai cạnh tương ứng)

Tam giác EMC có ME = MC nên là tam giác cân tại M.

c) • Vì AB // MN (chứng minh ở câu a) nên ${\mathrm{AEM^\backslash widehat\{AEM\}AEM}}^{}={\mathrm{EMF^\backslash widehat\{EMF\}EMF}}^{}$ (so le trong)

Ta có DEMF = DCMF (chứng minh ở câu b) nên ${\mathrm{EMF^\backslash widehat\{EMF\}EMF}}^{}={\mathrm{CMF^\backslash widehat\{CMF\}CMF}}^{}$

Do đó ${\mathrm{AEM^\backslash widehat\{AEM\}AEM}}^{}={\mathrm{CMF^\backslash widehat\{CMF\}CMF}}^{}\left(={\mathrm{EMF^\backslash widehat\{EMF\}EMF}}^{}\right)$.

• Do MNCD là hình thoi nên MC là đường phân giác của góc DMN

Suy ra ${\mathrm{CMF^\backslash widehat\{CMF\}CMF}}^{}=\frac{1}{2}{\mathrm{DMN^\backslash widehat\{DMN\}DMN}}^{}$, nên ${\mathrm{AEM^\backslash widehat\{AEM\}AEM}}^{}={\mathrm{CMF^\backslash widehat\{CMF\}CMF}}^{}=\frac{1}{2}\widehat{DMN}$ (1)

• Do DMNC là hình thoi nên ${\mathrm{DMN^\backslash widehat\{DMN\}DMN}}^{}={\mathrm{DMN^\backslash widehat\{DMN\}DCN}}^{}$ (hai góc đối bằng nhau)

Do ABCD là hình bình hành nên ${\mathrm{BA^\backslash widehat\{BA\}BAD}}^{}=\widehat{DCB}$ (hai góc đối bằng nhau)

Do đó ${\mathrm{DMN^\backslash widehat\{DMN\}DMN}}^{}=BA^\backslash widehat\{BA\}BAD (={\mathrm{DMN^\backslash widehat\{DMN\}DCN}}^{})$ (2)

Từ (1) và (2) ta có ${\mathrm{AEM^\backslash widehat\{AEM\}AEM}}^{}=\frac{1}{2}{\mathrm{BA^\backslash widehat\{BA\}BAD}}^{}$ hay ${\mathrm{BA^\backslash widehat\{BA\}BAD}}^{}=2{\mathrm{AEM^\backslash widehat\{AEM\}AEM}}^{}$.