Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Mở đầu: Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r vào mỗi kì thì sau N kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép sau:

A = P(1 + r)N.

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

Lời giải:

- Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là: 100 ∙ (1 + 6%)3 = 119,1016 (triệu đồng).

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Hoạt động 1: Nhận biết lũy thừa với số mũ nguyên

Tính: (1,5)2; ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3$; ${\left(\sqrt{2}\right)}^4$.

Lời giải:

Luyện tập 1: Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu x = a ∙ 10m, ở đó 1 ≤ a < 10 và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 kg.

(Theo Vật lí 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2020)

Lời giải:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5.98×1024 kg

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 1.67262×10−27 kg

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Hoạt động 2: Nhận biết khái niệm căn bậc n

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x2 = 4.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x3 = − 8.

Lời giải:

a) Ta có 4 = 22 = (– 2)2. Do đó, x2 = 4, suy ra x2 = 22 = (– 2)2. Vậy x = ± 2.

b) Ta có: − 8 = (− 2)3. Do đó, x3 = − 8, suy ra x3 = (− 2)3. Vậy x = − 2.

Câu hỏi: Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

Lời giải:

- Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số âm là số dương.

Luyện tập 2: Tính:

a) $\sqrt[3]{3-125}$;

b) $\sqrt[4]{4\frac{1}{81}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{3-125}=\sqrt[3]{3{\left(-5\right)}^3}=-5$.

b) $\sqrt[4]{4\frac{1}{81}}=\sqrt[4]{4{\left(\frac{1}{3}\right)}^4}=\frac{1}{3}$.

Hoạt động 3: Nhận biết tính chất của căn bậc n

a) Tính và so sánh: $\sqrt[3]{3-8}\cdot \sqrt[3]{327}$ và $\sqrt[3]{3\left(-8\right)\cdot 27}$.

b) Tính và so sánh: $\frac{\sqrt[3]{3-8}}{\sqrt[3]{327}}$ và $\sqrt[3]{3\frac{-8}{27}}$.

Lời giải:

Luyện tập 3: Tính:

a) $\sqrt[3]{35}:\sqrt[3]{3625}$;

b) $\sqrt[5]{5-25\sqrt{5}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{35}:\sqrt[3]{3625}=\sqrt[3]{3\frac{5}{625}}=\sqrt[3]{3\frac{1}{125}}=\sqrt[3]{3{\left(\frac{1}{5}\right)}^3}=\frac{1}{5}$.

b) $\sqrt[5]{5-25\sqrt{5}}=\sqrt[5]{5-{\left(\sqrt{5}\right)}^5}=\sqrt[5]{5{\left(-\sqrt{5}\right)}^5}=-\sqrt{5}$.

Hoạt động 4: Nhận biết lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a$.

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{m}{n}}$, với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$.

Lời giải:

Câu hỏi: Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Lời giải:

Ta có a > 0 thì am > 0 với mọi số nguyên m. Khi đó luôn tồn tại căn bậc n của am với n là một số nguyên dương. Do đó, $\sqrt[n]{n{a}^m}$ luôn xác định. Vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta cần điều kiện cơ số a > 0.

Luyện tập 4: Rút gọn biểu thức:

$A=\frac{x^{\frac{3}{2}}y+x{y}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\left(x,y>0\right)$.

Lời giải:

A=X32Y+XY32X√+Y√=(X+Y).X√−Y√X√+Y√

3. Lũy thừa với số mũ thực

Hoạt động 5: Nhận biết lũy thừa với số mũ thực

Ta biết rằng $\sqrt{2}$> là một số vô tỉ và $\sqrt{2}$ = 1,4142135624...

Gọi (rn) là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt{2}$, với r1 = 1; r2 = 1,4; r3 = 1,41;

r4 = 1,4142;...

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: $3^{r_1};3^{r_2};3^{r_3};3^{r_4}$ và $3^{\sqrt{2}}$.

b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_n}$, tức là , khi n càng lớn?

Lời giải:

Luyện tập 5: Rút gọn biểu thức:

$A=\frac{{\left(a^{\sqrt{2}-1}\right)}^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}\cdot a^{3-\sqrt{5}}}\left(a>0\right)$.

Lời giải:

Với a > 0, ta có $A=\frac{{\left(a^{\sqrt{2}-1}\right)}^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}\cdot a^{3-\sqrt{5}}}=\frac{a^{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}}{a^{\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(3-\sqrt{5}\right)}}=\frac{a^{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1}}{a^2}=\frac{a^1}{a^2}=\frac{1}{a}$.

Vận dụng: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

- Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là: 100 ∙ (1 + 6%)3 = 119,1016 (triệu đồng).

Bài tập

Bài 6.1: Tính:

a) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}$;

b) $4^{\frac{3}{2}}$;

c) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{2}{3}}$;

d) ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-0,75}$.

Lời giải:

a)(15)−2=(15)−2=1(15)2=1125=25

b)432=432=43−−√=64−−√=8

c)(18−23)=(18−23)=(81)23=(8–√3)2=22=4

d)(116)−0,75=(116)−0.75=(161)0.75=(16−−√4)3=23=8

Bài 6.2: Thực hiện phép tính:

a) ${27}^{\frac{2}{3}}+{81}^{-0,75}-{25}^{0,5}$;

b) $4^{2-3\sqrt{7}}\cdot 8^{2\sqrt{7}}$.

Lời giải:

Bài 6.3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{x^5{y}^{-2}}{x^{3}y}\left(x,y\ne 0\right)$;

b) $B=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}{y}^4\right)}^{-3}}\left(x,y\ne 0\right)$.

Lời giải:

a) $A=\frac{x^5{y}^{-2}}{x^{3}y}=\frac{x^{5-3}}{y^{1+2}}=\frac{x^2}{y^3}$.

b) $B=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}{y}^4\right)}^{-3}}=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}\right)}^{-3}{\left(y^4\right)}^{-3}}=\frac{x^2{y}^{-3}}{x^3{y}^{-12}}$$=x^{2-3}{y}^{-3-\left(-12\right)}=x^{-1}{y}^9=\frac{y^9}{x}$.

Bài 6.4: Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{6x}+\sqrt[6]{6y}}$;

b) $B={\left(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$.

Lời giải:

a) A=(x13y√+y13)(x√6−y√6)(x√6+y√6)(x√6−y√6)

A=x26y12−x16y13+y13x√6−y13y√6x16+y16

A=x16y12−x16y13+y13x√6−y13y√61

A=x16y13−13(y−−√6−x−−√6)

b) B=(x3√y3√−1)3√+1⋅x−3√−1y−2

B=(x3√(3√+1)y3√−1(3√+1))⋅x−3√−1y−2

B=x3y3√+1⋅x−3√−1y−2

B=x3−3√−1y3√+1−(−2)

B=x2−3√y3√+3

Bài 6.5: Chứng minh rằng:

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$.

Lời giải:

Bài 6.6: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$;

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Lời giải:

a) Ta có $6\sqrt{3}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt{108}$ và $3\sqrt{6}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}=\sqrt{54}$.

Vì 108 > 54 > 0 nên $\sqrt{108}>\sqrt{54}$ hay $6\sqrt{3}>3\sqrt{6}$.

Lại có 5 > 1 nên $5^{6\sqrt{3}}$ > $5^{3\sqrt{6}}$.

b) Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=2^{\frac{7}{6}}$.

Do 2 > 1 và $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}>\frac{7}{6}$ nên $2^{\frac{4}{3}}>2^{\frac{7}{6}}$, tức là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ > $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Bài 6.7: Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Lời giải:

Với số tiền gốc P=120 triệu đồng, lãi suất r=0.05 (vì lãi suất được biểu thị dưới dạng số thập phân), và số kỳ gửi trong một năm n=2 (vì một năm có 2 kỳ gửi 6 tháng), số kỳ gửi trong 2 năm là N=4.

Áp dụng công thức tính lãi suất kép:

A=P(1+rn)N=120(1+0.052)4≈136.047 triệu đồng

Vậy sau 2 năm, bác An sẽ nhận được khoản tiền là khoảng 136.047 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Bài 6.8: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A=19\cdot 2^{\frac{t}{30}}$>. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Lời giải: