Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức Bài 20: Hàm số mũ và hàm số Lôgarit

Mở đầu: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ sau: A = Pert, trong đó P là dân số của năm lấy làm mốc, A là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng vào năm 2020, dân số Việt Nam khoảng 97,34 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 0,91% (theo danso.org). Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050.

Lời giải:

Theo bài ra ta có P = 97,34; r = 0,91%.

Từ năm 2020 đến năm 2050 là 30 năm nên t = 30.

Ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050 là: A = Pert = 97,34 ∙ e0,91% ∙ 30 ≈ 127,9 (triệu người).

1. Hàm số mũ

Hoạt động 1: Nhận biết hàm số mũ

a) Tính y = 2x khi x lần lượt nhận các giá trị – 1; 0; 1. Với mỗi giá trị của x có bao nhiêu giá trị của y = 2x tương ứng?

b) Với những giá trị nào của x, biểu thức y = 2x có nghĩa?

Lời giải:

a) Khi x lần lượt nhận các giá trị -1, 0, 1, ta có:

• Khi x=−1, ta có y=2−1=12.
• Khi x=0, ta có y=20=1.
• Khi x=1, ta có y=21=2.

⇒y=2x.

b) 

Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi 2x>0

Câu hỏi: Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số mũ? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.

a) $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$;

b) y = 2– x;

c) $y=8^{\frac{x}{3}}$;

d) y = x– 2.

Lời giải:

a) Hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $\sqrt{2}$.

b) Ta có y = 2– x = (2– 1)x = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$. Do đó, hàm số đã cho là hàm số mũ với cơ số $\frac{1}{2}$.

c) Ta có $y=8^{\frac{x}{3}}={\left(\sqrt[3]{38}\right)}^x=2^x$. Do đó, hàm số đã cho là hàm số mũ với cơ số 2.

d) Hàm số y = x– 2 không phải là hàm số mũ.

Hoạt động 2: Nhận dạng đồ thị và tính chất của hàm số mũ

Cho hàm số mũ y = 2x.

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2x) với x ∈ ℝvà nối lại ta được đồ thị của hàm số y = 2x.

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số y = 2x.

Lời giải:

a) Ta có: 2– 3 = $\frac{1}{8}$; 2– 2 = $\frac{1}{4}$; 2– 1 = $\frac{1}{2}$; 20 = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8.

Vậy ta hoàn thành được bảng đã cho như sau:

b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta biểu diễn các điểm (x; y) ở câu a và lấy thêm nhiều điểm (x; 2x) với x ∈ ℝ, nối lại ta được đồ thị của hàm số y = 2x như sau:

c) Từ đồ thị ở hình trên, ta thấy hàm số y = 2x:

+ Có tập giá trị là (0; + ∞);

+ Đồng biến trên ℝ.

Luyện tập: Vẽ đồ thị của hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$.

Lời giải:

2. Hàm số Lôgarit

Hoạt động 3: Nhận biết hàm số lôgarit

a) Tính y = log2x khi x lần lượt nhận các giá trị 1; 2; 4. Với mỗi giá trị của x > 0 có bao nhiêu giá trị của y = log2x ­tương ứng?

b) Với những giá trị nào của x, biểu thức y = log2x có nghĩa?

Lời giải:

Câu hỏi: Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số lôgarit? Khi đó hãy chỉ ra cơ số

a) $y={\log }_{\sqrt{3}}x$;

b) y = ${\log }_{2^{-2}}x$;

c) y = logx2;

d) $y={\log }_{\frac{1}{x}}5$.

Lời giải:

a) Hàm số $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ là hàm số lôgarit với cơ số $\sqrt{3}$.

b) Ta có y = ${\log }_{2^{-2}}x$ = ${\log }_{\frac{1}{4}}x$, do đó hàm số đã cho là hàm số lôgarit với cơ số $\frac{1}{4}$.

c) Hàm số y = logx2 không phải hàm số lôgarit.

d) Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{x}}5$ không phải hàm số lôgarit.

Hoạt động 4: Nhận dạng đồ thị và tính chất của hàm số lôgarit

Cho hàm số lôgarit y = log2x.

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; log2x) và nối lại ta được đồ thị của hàm số y = log2x.

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số y = log2x.

Lời giải:

c)Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, ta có thể kết luận rằng hàm số y=log2x là một hàm số liên tục, đồng biến trên khoảng (0,+∞), có đạo hàm trên khoảng này và có đường tiệm cận ngang là đường y=0.

Vận dụng: Giải bài toán trong tình huống mở đầu (kết quả tính theo đơn vị triệu người và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Theo bài ra ta có P = 97,34; r = 0,91%.

Từ năm 2020 đến năm 2050 là 30 năm nên t = 30.

Ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050 là

A = Pert = 97,34 ∙ e0,91% ∙ 30 ≈ 127,9 (triệu người).

Bài tập

Bài 6.15: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 3x;

b) $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$.

Lời giải:

a) y = 3x

Ta lập bảng giá trị của hàm số y = 3x tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số y = 3x như sau:

b) $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$

Ta lập bảng giá trị của hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ như sau:

Bài 6.16: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = log x;

b) $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$.

Lời giải:

Bài 6.17: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = log|x + 3|;

b) y = ln(4 – x2).

Lời giải:

Bài 6.18: Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng m(t) của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau t ngày được cho bởi hàm số m(t) = 13e– 0,015t.

a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm t = 0.

b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?

Lời giải:

m(0) = 13e0 = 13 (kg).

b) Sau 45 ngày, tức t = 45, khối lượng chất phóng xạ đó còn lại là

m(45) = 13e– 0,015 ∙ 45 ≈ 6,62 (kg).

Bài 6.19: Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức M(t) = 75 – 20ln(t + 1), 0 ≤ t ≤ 12 (đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.

Lời giải:

Áp dụng công thức M(t)=75−20ln(t+1), ta có:

M(6)=75−20ln(6+1)=75−20ln7≈60,39

Vậy khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng là khoảng 60,39%.