Giải SGK Toán 6 Chân trời sáng tạo Bài 12: Ước chung. Ước chung lớn nhất

Hoạt động khởi động: Làm thế nào để tìm được số lớn nhất vừa là ước của 504, vừa là ước của 588?

Lời giải:

+ Trước khi học kiến thức Bài 12 này, ta sẽ giải quyết câu hỏi này bằng cách đi tìm tất cả các ước của 504 và 588, sau đó chọn ra các số giống nhau trong các ước của hai số trên, số lớn nhất trong các số đó là số cần tìm.  

+ Sau bài này ta sẽ biết được cách làm đơn giản hơn như sau: 

Cách làm như sau: 

- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố: 

504 = 23.32.7

588 = 22.3.72

- Chọn các thừa số chung và số mũ nhỏ nhất của nó sau đó nhân lại ta được: 22.3.7 = 84

- Vậy số lớn nhất vừa là ước của 504 vừa là ước của 588 là 84.

- Ta gọi 84 là ước chung lớn nhất của hai số 504 và 588.

1. Ước chung

Hoạt động khám phá 1:

a) Một nhóm học sinh gồm 12 bạn nam và 8 bạn nữ đi dã ngoại. Có bao nhiêu cách chia nhóm, mỗi nhóm từ 2 bạn trở lên sao cho số bạn nam ở mỗi nhóm bằng nhau, số bạn nữ ở mỗi nhóm cũng bằng nhau.

b) Viết các tập hợp Ư(18), Ư(30). Liệt kê các phần tử chung của tập hợp này.

Lời giải:

a) Có 3 cách chia nhóm

 Cách 1: Chia 1 nhóm gồm 12 nam và 8 nữ.

 Cách 2: chia 2 nhóm, mỗi nhóm 6 nam, 4 nữ.

 Cách 3: chia 4 nhóm, mỗi nhóm 3 nam, 2 nữ.

b) Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

    Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30).

=> Các phần tử chung của hai tập hợp trên là: 1; 2; 3; 6.

Thực hành 1: Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) 6 ∈ ƯC(24, 30); 

b) 6 ∈ ƯC(28, 42); 

c) 6 ∈ ƯC(18, 24, 42); 

Lời giải:

a) Đúng

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

=> ƯC(24,30) = {1; 2; 3; 6}.

b) Sai

Ư(28) = {1; 2; 4; 7; 14; 28}

Ư(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

=> ƯC(28,42) = {1; 2; 7; 14}.

c) Đúng

Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Ư(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

=> ƯC(18, 24, 42} = {1; 2; 3; 6}.

Thực hành 2: Tìm ước chung của:

a) 36 và 45; 

b) 18, 36 và 45.

Lời giải:

a) Ta có: Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Do đó: ƯC(36, 45) = {1; 3; 9}.

b) Ta có: Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Do đó: ƯC(18, 36, 45) = {1; 3; 9}.

2. Ước chung lớn nhất

Hoạt động khám phá 2: Một chi đội gồm 18 học sinh nam và 30 học sinh nữ muốn lập thành các đội tham gia hội diễn văn nghệ sao cho tiết mục của các đội khác nhau và mỗi bạn chỉ tham gia một đội, số nam trong các đội bằng nhau và số nữ cũng vậy. Có thể biểu diễn được nhiều nhất bao nhiêu tiết mục văn nghệ?

Lời giải:

Số đội được chia phải là ước của 18 và 30.

Vì số đội được chia phải nhiều nhất có thể nên số đội được chia là ước chung lớn nhất của 18 và 30.

Ta có: ƯCLN(18,30) = 6.

* Vậy: Có thể biểu diễn được nhiều nhất 6 tiết mục văn nghệ.

Thực hành 3: Viết ƯC(24, 30) và từ đó chỉ ra ƯCLN(24, 30).

Lời giải:

Ta có: 

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

ƯC(24, 30) = {1; 2; 3; 6}

Trong các ước chung của 24 và 30, ta thấy 6 là ước lớn nhất 

Do đó: ƯCLN(24, 30) = 6.

Vậy ƯCLN(24, 30) = 6.

Thực hành 4: Tìm ƯCLN(24, 60); ƯCLN(14, 33); ƯCLN(90,135, 270).

Lời giải:

+) 24 = 2³.3

60 = 2².3.5

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 

=> ƯCLN(24, 60) = 2². 3 = 12.

+) 14 = 2.7

 33 = 3.11

=>  ƯCLN(14, 33) = 1

 +) 90 = 2.3².5

 135 = 3³.5

 270 = 2.3³.5

Ta thấy 3 và 5 là các thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 2, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1

=> ƯCLN(90, 135, 270) = 3². 5 = 45.

Thực hành 5: Rút gọn các phân số sau: .

Lời giải:

Để rút gọn một phân số, ta có thể chia cả tử và mẫu của phân số đó cho ước chung lớn nhất của chúng để được phân số tối giản.

+) Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Ư(108) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 27; 36; 54; 108}

ƯCLN(24; 108)  = 12

+) Ư(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80}

Ư(32) = {1; 2; 4; 8; 16; 32}

ƯCLN(80; 32)  = 16

Bài tập

Bài tập 1: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Với khẳng định sai hãy sửa lại cho đúng.

a) ƯC(12, 24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12};

b) ƯC(36, 12, 48) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Lời giải:

a) Sai vì 8 không là ước chung của 12 và 24

Sửa lại:

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

=> ƯC(12, 24) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

b) Đúng.

Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Ư(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 12; 24; 48}

=> ƯC(36, 12, 48) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Bài tập 2: Tìm:

a) ƯCLN(1, 16);          b) ƯCLN(8, 20);

c) ƯCLN(84, 156);      c) ƯCLN(16, 40, 176).

Lời giải:

a) ƯCLN(1, 16) = 1.

b) 8 = 23 

    20 = 22 . 5

=> ƯCLN(8, 20) = 22 = 4.

c) 84 = 22 . 3 . 7

    156 = 22 . 3 . 13

=> ƯCLN(84, 156) = 22 . 3 = 12.

d) 16 = 24

    40 = 23 . 5

    176 = 24 . 11

=> ƯCLN(16, 40, 176) = 23 = 8.

Bài tập 3:

a) Ta có ƯCLN(18, 30) = 6. Hãy viết tập hợp A các ước của 6. Nêu nhận xét về tập hợp ƯC(18, 30) và tập hợp A.

b) Cho hai số a và b. Để tìm tập hợp ƯC(a, b), ta có thể tìm tập hợp các ước của ƯCLN(a, b). Hãy tìm ƯCLN rồi tìm tập hợp các ước chung của:

i. 24 và 30;     ii. 42 và 98;    iii. 180 và 234.

Lời giải:

a) Các ước của 6 là 1, 2, 3, 6.

Do đó ta có tập hợp A = Ư(6) = {1; 2; 3; 6}.

Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6}.

 Nhận xét: Ta thấy tập hợp ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6} nên tập hợp ƯC (18, 30) giống với tập hợp A.

Tổng quát: Cho hai số tự nhiên a và b. Để tìm tập ƯC(a,b) ta sẽ tìm ƯCLN(a, b) = m. Khi đó ƯC(a, b) = Ư(m).

b) 

i.  Phân tích 24 và 30 ra thừa số nguyên tố: 24 = 23.3; 30 = 2.3.5.

Suy ra ƯCLN(24, 30) = 2.3 =6.

Vậy: ƯC(24, 30) = Ư(6) = {1; 2; 3; 6}.

ii. Ta phân tích các số 42 và 98 ra thừa số nguyên tố

42 = 2.3.7; 98 = 2.72

Suy ra ƯCLN(42, 98) = 2.7 = 14.

Vậy: ƯC (42, 98) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}.

iii.Ta phân tích các số 180 và 234 ra thừa số nguyên tố

180 = 22.5.32; 234 = 2.32.13

Suy ra ƯCLN(180, 234) = 2.32 = 18

Vậy: ƯC(180, 234) = Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.

Bài tập 4: Rút gọn các phân số sau:  .

Lời giải:

Ta có: ƯCLN(28, 42) = 14

=> 2842 = 28:1442:14 = 23.

Ta có: ƯCLN(60, 135) = 15

=> 60135 = 60:15135:15 = 49.

Ta có: ƯCLN(288, 180) = 36

=> 288180 = 288:36180:36 = 85.

Bài tập 5: Chị Lan có ba đoạn dây ruy băng màu khác nhau với độ dài lần lượt là 140 cm, 168 cm và 210 cm. Chị muốn cắt cả ba đoạn dây đó thành những đoạn ngắn hơn có cùng chiều dài để làm nơ trang trí mà không bị thừa ruy băng. Tính độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn dây ngắn được cắt ra (độ dài mỗi đoạn dây ngắn là một số tự nhiên với đơn vị là xăng-ti-mét). Khi đó, chị Lan có được bao nhiêu đoạn dây ruy băng ngắn?

Lời giải: