Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Mở đầu: Vào khoảng thời gian giữa mùa hè, ở phía bắc của vòng Bắc Cực (như một số vùng phía bắc của Na Uy, Phần Lan, Nga,...), Mặt Trời có thể được nhìn thấy trong suốt 24 giờ của ngày. Hình học giải thích hiện tượng này như thế nào?

Lời giải:

Trong cả ngày 22 tháng 6 của năm, hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo (P) gần như chính là đường thẳng ∆ nối giữa tâm Trái Đất, tâm Mặt Trời và cực Bắc của Trái Đất nghiêng về phía Mặt Trời (hình dưới). Do đó, góc giữa trục Trái Đất và đường nối hai tâm xấp xỉ bằng 66,5°. Mặt khác, Mặt Trời chiếu sáng nửa Trái Đất được cắt bởi mặt phẳng vuông góc với ∆. Vì vậy, trong cả ngày 22 tháng 6, mặc dù Trái Đất quay quanh trục và di chuyển trên quỹ đạo, nhưng gần như toàn bộ vùng có vĩ độ Bắc lớn hơn 66,5° (phía bắc vòng Bắc Cực) luôn được Mặt Trời chiếu sáng.

1. Phép chiếu vuông góc

Hoạt động 1: Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân.

a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua một phép chiếu song song hay không?

b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan sát được bóng của cây cột trên sân hay không?

Lời giải:

a) Bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu song song với tia nắng mặt trời.

b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, bóng của cây cột sẽ không xuất hiện trên mặt sân vì không có tia sáng nào có thể chiếu trực tiếp lên bề mặt sân để tạo ra bóng của cây cột.

Câu hỏi: 

a) Nếu A là một điểm không thuộc mặt phẳng (P) và A' là hình chiếu của A trên (P) thì đường thẳng AA' có quan hệ gì với mặt phẳng (P)?

b) Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì hình chiếu của a trên (P) là gì?

Lời giải:

a) Nếu A là một điểm không thuộc mặt phẳng (P) và A' là hình chiếu của A trên (P) thì đường thẳng AA' vuông góc với mặt phẳng (P).

b) Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì hình chiếu của a trên (P) là một điểm chính là giao điểm của a và (P).

Hoạt động 2: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Xét b là một đường thẳng nằm trong (P). Trên a, lấy hai điểm M, N tùy ý. Gọi M', N' tương ứng là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng (P) (H.7.34).

a) Hình chiếu của a trên mặt phẳng (P) là đường thẳng nào?

b) Nếu b vuông góc với M'N' thì b có vuông góc với a hay không?

c) Nếu b vuông góc với a thì b có vuông góc với M'N' hay không?

Lời giải:

a) Hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P) là một đường thẳng cắt (P) tạo thành một góc bằng với góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). Điều này có nghĩa là ta có thể lấy hai điểm P và Q bất kỳ trên đường thẳng a, rồi vẽ các đường thẳng PM', QN' lần lượt là hình chiếu của P, Q trên (P). Đường thẳng PQ sẽ là hình chiếu của a trên (P).

b) Nếu b⊥M′N′, thì b không nhất thiết phải vuông góc với a. Tuy nhiên, nếu ta vẽ đường thẳng PQ như đã mô tả ở câu a), thì b⊥PQ.

c) Nếu b⊥a, thì b không nhất thiết phải vuông góc với M'N. Tuy nhiên, ta có thể chứng minh rằng b//M′N bằng cách sử dụng tính chất của hình chiếu. Nếu b⊥a, thì b sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mặt phẳng (P) mà song song với a. Do đó, ta có thể vẽ đường thẳng AB trong (P) song song với a, rồi vẽ đường thẳng A′C⊥AB tại C. Ta có M'C // AB, nên theo tính chất của hình chiếu, ta có M'N' // AC. Vì vậy, nếu b⊥a thì b sẽ cắt M'N' tại một điểm D nằm trên AC, và do đó b // M'N'.

Luyện tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) (H.7.36).

a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Xác định hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC).

c) Chứng minh rằng nếu $AO\perp BC$ thì $SA\perp BC$.

d) Xác định hình chiếu của các tam giác SBC, SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

d) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC)

B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC)

C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC) 

⇒ Tam giác OAB là hình chiếu của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABC)

⇒ Tam giác OBC là hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC)

⇒ Tam giác OCA là hình chiếu của tam giác SCA trên mặt phẳng (ABC)

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hoạt động 3: Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn 240 km/h trong suốt 2 phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh không?

Lời giải:

Độ cao của máy bay bằng cách sử dụng công thức sau:

độ cao = vận tốc x thời gian bay

Ta có vận tốc của máy bay là 240 km/h = 66,67 m/s 1 phút hoặc 60 giây.

Do đó, ta có thể tính được độ cao của máy bay như sau:

độ cao = 66.67 m/s x 60 giây = 4000 mét

Tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh là 4000 mét.

Vận dụng: Tâm Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Trong quá trình chuyển động, Trái Đất lại quay quanh trục Bắc Nam. Trục này có phương không đổi và luôn tạo với mặt phẳng chứa quỹ đạo một góc khoảng 66,5°.

(Theo nationalgeographic.org).

a) Giải thích vì sao hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo (P) cũng có phương không đổi.

b) Giải thích vì sao có hai thời điểm trong năm mà tại đó hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.

Lời giải:

a) Vì trục quay của Trái Đất luôn cố định hướng về một phương cố định trong không gian, và mặt phẳng quỹ đạo cũng không thay đổi trong quá trình quay quanh Mặt Trời.

b) Trong quá trình chuyển động quanh Mặt Trời, hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo sẽ thay đổi theo thời gian và tạo thành một đường tròn có bán kính bằng góc nghiêng của trục quay so với mặt phẳng quỹ đạo. Khi Trái Đất ở vị trí xa nhất (khoảng 4/7 quỹ đạo) và gần nhất (khoảng 3/7 quỹ đạo) so với Mặt Trời, thì hình chiếu của trục quay của Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo sẽ nằm trên đường thẳng nối tâm Trái Đất và Mặt Trời.

Khám phá: Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, với một đường thẳng a bất kì, góc giữa a và (P) có mối quan hệ gì với góc giữa a và ∆?

Lời giải:

Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: a ⊥ (P).

Vì a ⊥ (P) và ∆ ⊥ (P) nên a // ∆. Khi đó (a, ∆) = 0°; (a, P) = 90°.

Trường hợp 2: a // (P) hoặc a thuộc (P).

Vì a // (P) hoặc a thuộc (P) và ∆ ⊥ (P) nên a ⊥ ∆. Khi đó (a, ∆) = 90°; (a, P) = 0°.

Trường hợp 3: a không vuông góc với (P) và a cắt (P) tại O.

Lấy điểm A khác O thuộc a và gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).

Có AH ⊥ (P) và ∆ ⊥ (P) nên AH // ∆.

Khi đó (∆, a) = (AH, a) = ${\mathrm{HAO^\backslash widehat\{HAO\}HAO}}^{}$ $=90°-{\mathrm{HAO^\backslash widehat\{HAO\}HOA}}^{}$ $=90°-(a,P)$.

Vậy góc giữa a và ∆ phụ thuộc vào góc giữa a và (P).

Trải nghiệm: Đo góc giữa một sợi dây kéo căng và mặt bàn hoặc sàn lớp học. (Có thể cho một đầu dây thuộc mặt bàn, mặt sàn để thuận tiện hơn cho việc đo).

Lời giải:

- Để đo góc giữa một sợi dây kéo căng và mặt bàn hoặc sàn lớp học ta có thể làm như sau:

+ Bước 1: Đặt một đầu dây lên mặt bàn hoặc sàn lớp học và giữ cho sợi dây căng thẳng.

+ Bước 2: Xác định hình chiếu vuông góc của dây trên mặt bàn hoặc sàn lớp học.

+ Bước 3: Dùng thước đo góc để đo góc tạo bởi sợi dây và hình chiếu của dây trên mặt bàn hoặc sàn lớp học.

+ Bước 4: Ghi lại kết quả đo.

Bài tập

Bài 7.10: Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, tam giác ABC vuông tại B.

a) Xác định hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC).

b) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC).

c) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB).

Lời giải:

a) Vì SA ⊥ (ABC) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

b) Có A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC),

B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC),

C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC).

Do đó hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC) là tam giác ABC.

c) Có SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC.

Do AB ⊥ BC và SA ⊥ BC nên BC ⊥ (SAB), suy ra B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB).

B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (SAB), S là hình chiếu của S trên mặt phẳng (SAB).

Do đó hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB) là SB.

Bài 7.11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và $SA=a\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính góc giữa BD và mặt phẳng (SAC).

c) Tìm hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).

Lời giải:

a) Ta có SC→=SA→+AC→. Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên AC=BD=a2–√. Áp dụng định lí cosin trong tam giác SAC, ta có:

cos(SC,(ABCD))=SC→.SA→SC.SA=a2√2a2√=12

Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng arccos12=60∘.

Bài 7.12: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a.

a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).       

b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Bài 7.13: Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P), có hình chiếu H trên (P). Với mỗi đểm M bất kì (không trùng H) trên mặt phẳng (P), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu trên (P) của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên SM và SM' bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu HM và HM' tương ứng bằng nhau;

b) Đường xiên SM lớn hơn đường xiên SM' nếu hình chiếu HM lớn hơn hình chiếu HM'.

Lời giải:

a) Có H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (P) nên SH ⊥ (P), suy ra SH ⊥ HM, SH ⊥ HM'.

- Giả sử SM = SM'.

Xét tam giác SHM vuông tại H, có SM2 = SH2 + HM2

Xét tam giác SHM' vuông tại H, có SM'2 = SH2 + HM'2.

Mà SM = SM' nên HM = HM'.

- Giả sử HM = HM'.

Xét tam giác SHM vuông tại H, có SM2 = SH2 + HM2

Xét tam giác SHM' vuông tại H, có SM'2 = SH2 + HM'2.

Mà HM = HM' nên SM = SM'.

Vậy hai đường xiên SM và SM' bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu HM và HM' tương ứng bằng nhau.

b) Trên tia HM lấy điểm N sao cho SN = SM' suy ra HN = HM'.

Mà SM > SM' nên SM > SN ⇒ HM > HN hay HM > HM'.

Bài 7.14: Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là 10°, 15°. Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?

Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.

Lời giải:

- Áp dụng công thức tính độ cao của máy bay so với mặt đất, ta tính được độ cao của hai máy bay 1 và 2 như sau:

+ Độ cao của máy bay 1: h_A = v * 1 * sin(10°) = 0.17365v

+ Độ cao của máy bay : h_B = v * 1 * sin(15°) = 0.25882v

=> Do đó, ta thấy rằng độ cao của máy bay 2 lớn hơn độ cao của máy bay 1. Vì vậy, máy bay 2 ở độ cao so với mặt đất lớn hơn sau 1 phút kể từ khi cất cánh.

Bài 7.15: Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.

Chú ý. Góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời lúc giữa trưa với mặt phẳng nằm ngang tại vị trí đó được gọi là góc Mặt Trời. Giữa trưa là thời điểm ban ngày mà tâm Mặt Trời thuộc mặt phẳng chứa kinh tuyến đi qua điểm đang xét. Góc Mặt Trời ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất.

Lời giải:

Để đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm cụ thể, ta cần sử dụng một thiết bị đo góc, thường được gọi là gnomon.

- Cách thực hiện đo góc Mặt Trời như sau:

+ Chọn một vị trí cố định trên mặt đất và đặt gnomon vào vị trí đó sao cho nó đứng thẳng đứng và vuông góc với mặt đất.

+ Đợi cho đến khi đến thời điểm giữa trưa, khi tia sáng Mặt Trời đứng thẳng trên vị trí của bạn. Bạn có thể biết được thời điểm này thông qua các trang web hoặc ứng dụng dựa trên vị trí của bạn.

+ Xác định bóng của gnomon trên mặt phẳng ngang và vẽ một đường thẳng từ đỉnh của gnomon đến đỉnh của bóng.

+ Sử dụng thiết bị đo góc để đo góc giữa đường thẳng này và mặt phẳng ngang. Đó chính là góc Mặt Trời tại vị trí và thời điểm đó.