Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Mở đầu: Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của tòa nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).

Lời giải:

Ta có thể tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất.

Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là

s = f(t) = $\frac{1}{2}g{t}^2$

trong đó, g là gia tốc rơi tự do, lấy g = 9,8 m/s2; s (m) là quãng đường nó rơi từ vị trí ban đầu tới mặt đất; t (giây) là thời gian vật rơi từ vị trí ban đầu cho tới khi chạm đất.

Gọi v(t) (m/s) là vận tốc của quả bóng tại thời điểm t. Khi đó v(t) = f'(t) = gt = 9,8t.

Mặt khác, vì chiều cao của tòa nhà là 461,3 m nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm t1, với s = f(t1) = 461,3 m. Từ đó, ta có

$\frac{1}{2}.9,8t_1^2=461,3\iff t_1=\sqrt{\frac{2.461,3}{9,8}}$ (giây)

Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là

v(t1) = 9,8t1 = 9,8 . $\sqrt{\frac{2.461,3}{9,8}}$ ≈ 95,1 (m/s).s

1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Hoạt động 1: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t.

b) Giới hạn $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}$ cho ta biết điều gì ?

Lời giải:

a) vav=s(t)−s(t0)t−t0

b) v=limt−t0s(t)−s(t0)t−t0

Hoạt động 2: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t.

b) Giới hạn $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{Q\left(t\right)-Q\left(t_0\right)}{t-t_0}$ cho ta biết điều gì ?

Lời giải:

2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Luyện tập 1: Tính đạo hàm của hàm số y = –x2 + 2x + 1 tại điểm x0 = –1.

Lời giải:

Đặt f(x) = y = –x2 + 2x + 1.

Ta có: f(x) – f(– 1) = – x2 + 2x + 1 – [– (– 1)2 + 2 . (– 1) + 1] = – x2 + 2x + 3.

Với x ≠ – 1, ta có $\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\frac{-x^2+2x+3}{x+1}=\frac{(x+1)(3-x)}{x+1}=3-x$ .

Khi đó, $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f(-1)}{x-(-1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-x^2+2x+3}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(3-x\right)=4$ .

Vậy đạo hàm của hàm số y = –x2 + 2x + 1 tại điểm x0 = –1 có giá trị là 4.

3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hoạt động 3: Tính đạo hàm f'(x0) tại điểm x0 bất kì trong các trường hợp sau:

a) f(x) = c (c là hằng số);

b) f(x) = x.

Lời giải:

a) Với hàm số f(x)=c, với c là hằng số bất kỳ, ta có f′(x)=0 vì đạo hàm của một hằng số bất kỳ luôn bằng 0. Do đó, f′(x0)=0 với mọi x0.

b) Với hàm số f(x)=x, ta có f′(x)=1 với mọi x. Do đó, f′(x0)=1 với mọi x0.

Luyện tập 2:

a) y = x2 + 1

b) y = kx + c (với k, c là các hằng số).

Lời giải:

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hoạt động 4: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x0; f(x0)) ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với x ≠ x0.

a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc kPQ của cát tuyến PQ.

b) Khi x → x0 thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào ?

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQcó giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\left(x-x_0;f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right)$ . Suy ra ${\overrightarrow{n}}_{PQ}=\left(f\left(x\right)-f\left(x_0\right);x_0-x\right)$ .

Phương trình đường thẳng PQ là

[f(x) – f(x0)](x – x0) + (x0­ – x)[y – f(x0)] = 0

Hay [f(x) – f(x0)]x – (x – x0)y – f(x)x0 + xf(x0) = 0

Tức là y = $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}x+\frac{xf\left(x_0\right)-x_{0}f\left(x\right)}{x-x_0}$ .

Do đó, hệ số góc của cát tuyến PQ là $k_{PQ}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ .

b)

Khi x$\to$xo thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm P(x0; f(x0)) và khi x = x0 hai điểm này sẽ trùng nhau.

c)

Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQ có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến gần đến gần vị trí tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P. Vì vậy giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P.

Luyện tập 3: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm có hoành độ x0 = $\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Đặt x=x0=12

y′=2x

y′(x0)=2.12=1

Hoạt động 5: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là đường parabol (P).

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến (P) tại điểm có hoành độ x0 = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Lời giải:

Luyện tập 4: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): y = –2x2 tại điểm có hoành độ x0 = –1.

Lời giải:

Ta có: y' = (–2x2) = –4x.

Nên hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = –1 là y'(–1) = –4.(–1) = 4.

Ngoài ra, ta có y(–1) = –2 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y – (–2) = 4(x + 1) hay y = 4x + 2.

Vận dụng: Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10o(độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đầu mút của cây cầu. Ta có OB=OA=200m. Theo đề bài, độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10∘, do đó độ lệch h giữa đỉnh của cầu và mặt phẳng AB không vượt quá:

h=OB.tan(10∘)≈34,64m

Do đó, độ cao giới hạn của cây cầu là h+200≈234.6 (m).

Bài tập

Bài 9.1: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x2 – x tại x0 = 1;

b) y = –x3 tại x0 = –1.

Lời giải:

Bài 9.2: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = kx2 + c (với k, c là các hằng số);

b) y = x3.

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = kx2 + c.

Với x0 bất kì, ta có:

f'(x0) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k{x}^2+c-(k{x_0}^2+c)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k(x^2-{x_0}^2)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }$[k(x+x0)] = 2kx0.

Vậy hàm số y = kx2 + c có đạo hàm là hàm số y' = 2kx.

b) Đặt y = f(x) = x3.

Với x0 bất kì, ta có:

f'(x0) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3-{x_0}^3}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{(x-x_0)(x^2+x{x}_0+{x_0}^2)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }(x^2+x{x}_0+{x_0}^2)=3{x_0}^2$

Vậy hàm số y = x3 có đạo hàm là hàm số y' = 3x2.

Bài 9.3: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x2 + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x0 = 1;

b) Tiếp điểm có tung độ y0 = 0.

Lời giải:

a) Đạo hàm của hàm số tại điểmx0

f′(x)=−2x+4 

đạo hàm của hàm số tại điểm x0=1

f′(1)=−2(1)+4=2

phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm x0=1 là:

y−f(x0)=f′(x0)(x−(x0)⇒y−f(1)=2(x−1)

Thay f(1)=3, ta được phương trình tiếp tuyến:

y−3=2(x−1)⇒y=2x+1

b) Tại điểm y0=0 ta có x=2

Đường tiếp tuyến tại điểm (2,0) có độ dốc bằng y′=−2×2+4=−4. Sử dụng công thức tương tự, ta có:

y−0=−4(x−2)⇒y=−4x+8

Bài 9.4: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t2. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Lời giải:

Bài 9.5: Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L1 và đoạn dốc xuống L2 là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L1 và L2 phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là y = ax2 + bx + c, trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Lời giải:

a)

Vì gốc tọa độ đặt tại P nên P(0; 0) do đó ta có: c = y(0) = 0.

b)

Ta tính được: y' = 2ax + b.

Suy ra: y'(0) = b.

Mà L1 là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc 0,5 nên y'(0) = 0,5 ⇒ b = 0,5.

c)
L2 là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc –0,75 nên

y'(xQ) = 2axQ + 0,5 = –0,75.

Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m nên xQ – xP = xQ = 40.

⇒ 2a . 40 + 0,5 = –0,75 ⇒ a = $\frac{-1}{64}$ .

Khi đó phương trình parabol là $y=-\frac{1}{64}{x}^2+\frac{1}{2}x$ .

d)

Ta có: $y_Q=\frac{-1}{64}{.40}^2+\frac{1}{2}.40=-5$.

Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là: |yP – yQ| = 5.