Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Mở đầu: Tại vòng chung kết của một đại hội thể thao, vận động viên An thi đấu môn Bắn súng, vận động viên Bình thi đấu môn Bơi lội. Biết rằng xác suất giành huy chương của vận động viên An và vận động viên Bình tương ứng là 0,8 và 0,9. Hỏi xác suất để cả hai vận động viên đạt huy chương là bao nhiêu ?

Lời giải:

- Xác suất để cả hai vận động viên đạt huy chương là: 0,8 . 0,9 = 0,72.

1. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Hoạt động 1: Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp II có 1 quả màu trắng và 7 quả màu đen. Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xét các biến cố sau:

A: “Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng”;

B: “Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen”.

a) Tính P(A), P(B) và P(AB).

b) So sánh P(AB) và P(A) . P(B).

Lời giải:

Câu hỏi: Hai biến cố A và B trong HĐ1 độc lập hay không độc lập ? Tại sao ?

Lời giải:

Vì Long và Hải lấy bóng từ hai hộp khác nhau nên:

Dù biến cố A có xảy ra hay không ta đều có P(B) = $\frac{7}{8}$ .

Dù biến cố B có xảy ra hay không ra đều có P(A) = $\frac{6}{10}$ .

Vậy hai biến cố A và B độc lập.

Luyện tập 1: Các học sinh lớp 11D làm thí nghiệm gieo hai loại hạt giống A và B. Xác suất để hai loại hạt giống A và B nảy mầm tương ứng là 0,92 và 0,88. Giả sử việc nảy mầm của hạt A và hạt B là độc lập với nhau. Dùng sơ đồ hình cây tính xác suất để:

a) Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm;

b) Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm;

c) Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Hạt giống A nảy mầm”; B là biến cố “Hạt giống B nảy mầm”.

Các biến cố đối $\overline{A}$ là biến cố “Hạt giống A không nảy mầm”; $\overline{B}$ là “Hạt giống B không nảy mầm”.

Ta có:

P(A) = 0,92. Suy ra P($\overline{A}$) = 1 – 0,92 = 0,08.

P(B) = 0,88. Suy ra P($\overline{B}$) = 1 – 0,88 = 0,12.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Ta có hai biến cố A và B độc lập.

a)

Biến cố: “Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm” là biến cố A$\overline{B}$.

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

P(A$\overline{B}$) = P(A) . P($\overline{B}$) = 0,92 . 0,12 = 0,1104.

b)

Biến cố: “Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm” là biến cố $\overline{A}$ B.

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

P($\overline{A}$B) = P($\overline{A}$) . P(B) = 0,08 . 0,88 = 0,0704.

c)

Biến cố: “Có ít nhất một trong hai loại hạt giống nảy mầm” là biến cố A ∪ B.

Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất, ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)

= P(A) + P(B) – P(A) . P(B)

= 0,92 + 0,88 – 0,92 . 0,88

= 0,9904.

Vậy P(A ∪ B) = 0,9904.

2. Vận dụng

Luyện tập 2: Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm 5 000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:

Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

Lời giải:

Tỷ lệ mắc bệnh ở nhóm nghiện thuốc lá là:

Tỷ lệ mắc bệnh ở nhóm nghiện thuốc lá = 752752+1236≈0,378

Tỷ lệ mắc bệnh ở nhóm không nghiện thuốc lá là:

Tỷ lệ mắc bệnh ở nhóm  không nghiện thuốc lá= 575+2437≈0,191

Vậy, tỷ lệ tương đối là:

Tỷ lệ tương đối=0.3780.191≈1,98

Kết quả này cho thấy tỷ lệ mắc bệnh viêm phổi của nhóm người nghiện thuốc lá gần gấp đôi so với nhóm không nghiện thuốc lá. Tức là, người có thói quen hút thuốc lá có xu hướng cao hơn để mắc bệnh viêm phổi hơn so với người không có thói quen này.

Bài tập

Bài 8.11: Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Lời giải:

Bài 8.12: Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60” và B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48”.

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.

Lời giải:

Ta có:

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}

B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

Do đó, AB = A ∩ B = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Suy ra

P(A) = $\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$; P(B) = $\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$ ; P(AB) = $\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$ .

Mặt khác, P(A) . P(B) = $\frac{1}{5}.\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$ .

Khi đó P(AB) ≠ P(A) . P(B) nên hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 8.13: Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để:

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Lời giải:

a) Xác suất để lấy được hai viên bi màu xanh từ hai túi là tích của hai xác suất đó:

P( Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh)=P( bi xanh từ túi I) . P( bi xanh túi II)

=310.58=316

b) Xác suất Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ:

P(Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ) =P( bi đỏ từ túi I) . P( bi đỏ túi II) =710.38=2180

c) Xác suất Hai viên bi được lấy có cùng màu

P(Hai viên bi được lấy có cùng màu) =P( bi đỏ từ túi I) + P( bi đỏ túi II) =316+2180=3380

d) Xác suất Hai viên bi được lấy không cùng màu.

P(Hai viên bi được lấy không cùng màu) =P( bi xanh từ túi I) + P( bi đỏ túi II).P( bi đỏ từ túi I) + P( bi đỏ túi II)

=310.38+710.58=35

Bài 8.14: Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.

Lời giải:

Bài 8.15: Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Lời giải:

Xác suất để học sinh tỉnh X không đạt yêu cầu là 100% – 93% = 7% = 0,07.

Xác suất để học sinh tỉnh Y không đạt yêu cầu là 100% – 87% = 13% = 0,13.

Gọi A là biến cố: “Học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”.

B là biến cố: “Học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”.

Khi đó ta có P(A) = 0,93; P(B) = 0,87; P($\overline{A}$) = 0.07; P($\overline{B}$) = 0,13 .

a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:

P(AB) = P(A) . P(B) = 0,93 . 0,87 = 0,8091.

b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:

P($\overline{A}$$\overline{B}$) = P($\overline{A}$).P($\overline{B}$) = 0,07 . 0,13 = 0,0091.

c) Xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

P(A$\overline{B}$) + P($\overline{A}$B) = 0,93 . 0,13 + 0,07 . 0,87 = 0,1818.

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,93 + 0,87 – 0,8091 = 0,9909.